2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第04讲 函数的值域（最值）的常见求法（3）

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1、第04讲函数的值域（最值）的常见求法（3）【知识要点】一、绝对值不等式1、重要绝对值不等式：

2、使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“一”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“一”，总之要使中间是常数.2、求绝对值的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.二、柯西不等式1、二维形式的柯西不等式：若为实数，则.（当且仅当时取“=”）二维形式的柯西不等式的一些变式或或，要灵活选择应用.2、维向量的柯西不等式：设，则（当且仅

3、当时取等号，假设）3、利用柯西不等式求最值时，要注意灵活配凑和构造,，使条件满足柯西不等式，这一点很关键.【方法讲评】方法一求绝对值函数的最值使用情景一般含有两个绝对值.解题步骤直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.【例1】已知函数.(1)求的取值范围,使为常数函数；(2)若关于的不等式解集不是空集,求实数的取值范围.【点评】（1）关于的不等式解集不是空集，即关于的不等式有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于8.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄

4、混淆，所以要理解清楚.恒成立等价于，有解等价于，恒成立等价于，有解等价于.(3)第2问中绝对值的最值，用到了数形结合的方法和绝对值不等式.【反馈检测1】若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【反馈检测2】若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．方法二利用柯西不等式求函数的最值使用情景一般含有平方和或交叉的乘积等.解题步骤一般先进行配凑构造，使它们满足柯西不等式，再化简求最值.【例2】已知的最小值.【点评】(1)本题利用其它方法求函数的最值不是很方便简洁，但是选择柯西不等式比较简洁.由于已知中有平方和等条件，

5、所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时，要学会配凑和构造，使它满足柯西不等式左右两边的形式.【反馈检测3】已知，且，则的最小值是．【反馈检测4】若存在实数使成立，求常数的取值范围.【反馈检测5】已知函数，，且的解集为．(1)求的值；(2)若，且，求的最小值.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第04讲：函数的值域（最值）的常见求法（3）（绝对值不等式法和柯西不等式法）参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】不等式的解集为，故，所以，.【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得,即，所以，所以函数的

6、最小值是，关于的不等式有实数解等价于，即，解得故选.【反馈检测3答案】【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】由柯西不等式，，即，又知为非负数，所以，当且仅当，即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立，，所以常数的取值范围为.【反馈检测5答案】（1）；（2）9.