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《第03讲函数的值域（最值）的常见求法（2）-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第03讲：函数值域（最值）的常见求法（2）（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数y=Ax+/?（£h0）的值域为R.2、二次函数y=血2+bx+c（aH0）,当d>0时的值域为也；,+8,。<0时的值域为'4ac-b2—co,I4d」3、反比例函数y=£（RhO
2、）的值域为{ywh0}.4、指数函数y=ax（a>0且aH1）的值域为{y卜>0}.5、对数函数y=log“x（a>Oj@LdHl）的值域为/?•丄6、幕函数y=x3的值域为/?,幕函数y=X2=>/x的值域为［0,+co）.7、正弦函数y=sinx、余弦函数y=cos兀的值域为［一1,1］,正切函数y=tan%的值域为R.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其屮最常用的有“三
3、数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景eldx1+ex+f•弋叫形如y=一；的函数・ax^+bx+c解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.2r2+4r-7【例"函数"UTT的值域.【解析】・・・»+2乂+3=(x+1)2+2a0,所以函数的定义域为丈原函数可以化为x+2x
4、y+3y=2x2+4x-7整理得:(v-2)x2+2(v-2)x+3y+7=0当y工2时，上式可以看成关于兀的二次方程，该方程的乂范围应该满足0>)=，+2兀+3工0即xwR此时方程有实根即△»(),△=[2(y-2)]2-4(v-2X3y+7)>0ve[-^2],当y=2时，方程化为7=0,显然不能成立，所以y工2.9Q将y=2:y=--分别代入检验得v=2不符合方程,所以ve[--:2)・【点评】(1)分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为A(M?+B(y)x+C(y)=0的形式，再利用判別式加以
5、判断.(2)函数经过变形后可以化为A(y)〒+B(y)x+C(y)=()的形式后，要注意对A是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方9程.(3)判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是y==-彳)代回方程检验，把不满足题意的舍去.2若2_Y+2【反馈检测1]求函数—的值域.X+X+1方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.s—Ax+【例2】已知巳，求函数/心飞寸的最小值.【解析】沦二・"-2>0./(兀)二“2一力+5
6、=(兀―2)，+1二口+_^»i22(^-2)2(x-2)22(x-2)r_21当且仅当一=,即x=3时，上式等号成立.22(^-2)因为兀=3在定义域内，所以最小值为1.【点评】(1)本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.(2)很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构，再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.学科.网0【例3】己知0g(0,71
7、),求函数>'=sin—(l+cos(9)的最大值.【解析】•••&訂0拯)二y=广学「(1+C。*)y2="竽8(1+COS8)2=1-(2-2cos6»)-(1+cos6»)-(1+cos^)4匕1「(2-2cOS&)+(l+CO5&)+(l+CO58)f=匹'413J27•、•<婕当且仅当2-2co"=l+cos&即cos0=-时取到等号.••八93所以函数的最犬值为空・9【点评】(1)基本不等式有二元基本不等式(a>0,b>0当且仅当°=胡寸取等)和三元不等式a+b+c»3扬反(d>0,b>0,c>0,当且彳又当
8、a=b=寸取等).(2)基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.19【反馈检测2］已知x>0,y〉0,且一+—=2,则兀+y的最小值为.兀y【反馈检测3】【2017浙江，17】已知心,函数/(%)=x^---a+a在区间［1,4］上的最大值
