初升高数学之衔接专题：专题六二次函数的最值问题

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1、专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1.二次函数y=ax1+bx+c(ghO)的］值.二次函数在自变量俺任意实数时的最值情况（当。>0时，函数在“舟处取得最小值气匚无最大值；当。<。时，函数在2毎处取得最大值叮无最小值.2.二次函数最大值或取小值的求法.第一步确定日的符号，臼>0有最小值，臼V0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.3.求二次函数在某一范围内的最值.如：丁二处彳+加+心在〃zSxS/t（其中m

2、步：讨论:［1］若Q>0时求最小值或av0时求最大值，需分三种情况讨论:①对称轴小于m即x（）n,即对称轴在m0时求最大值或gvO时求最小值，需分两种情况讨论:即对称轴在m

3、或最小值.(1)y=2x~-3x-5；(2)y=-x一3x+4・分析：由于函数y=2x2-3x-5和y=-亍-3兀+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.解：(1)因为二次函数y=2x2-3x-5中的二次项系数2>0,所以抛物线y=2x2-3x-5有最低点，即函数有最小值.因为y=2x2-3x-5=2(x--)2，所以当x=—时，函数y=2x2-3x-5有最小值是-竺.48(2)因为二次函数y=-x2-3x4-4中的二次项系数-K0

4、,所以抛物线y-一/一3兀+4右最咼点，即函数右最大值.因为y=-x2-3x+4=—(x+—)2H,所以当兀时，函数y="_3x+4有最大值兰.24例2当H52时，求函数y=-x2-%+l的最大值和最小值.解：作出函数的图象.当兀=1时，ymin=-1,当兀=2时，ymax=-5.说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段•那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量兀的范围的图彖形状各异.下面给出一些常见情况：

5、例3当兀》0吋，求函数y=-兀（2-兀）的取值范围.解：作出函数歹=一班2-尤）=兀2-2兀在兀》0内的图象.可以看出：当兀=1时，儿初=-1，无最大值.所以，当兀no时，函数的取值范围是yn-1例4当r1时：当无“时，^in=

6、r2-r-

7、；⑵当对称轴在所

8、给范围Z间.EPrO

9、xl2-l-

10、=-3；⑶当对称轴在所给范围右侧.即r+lvlnrv0时：当x=r+l时，19519沧右0+1）2-（州1）一矿才2-3・综上所述:八＜°y={-3,05/51例5某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元满足一次函数加=162-3%,30

11、商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：（1）由已知得每件商品的销售利润为（兀-30）元，那么刃件的销售利润为y=m（x一30）m二162—3兀・・•・y=（x—30）（162-3兀）=-3x2+252兀一4860,30

12、-3,当加二时，图象的顶点在y轴上；当m-时，图象的顶点在x轴上；当加二时，图象过原点.2.用一长度为/米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为3.设d>0,当-1