专题1.6 例谈因式分解的方法与技巧-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【专题综述】因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。【方法解读】一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1：因式分解解：原式＝【解读】根据多项式的特点，把3拆成4+

2、（-1），即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。【举一反三】因式分解：【答案】二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例2：因式分解解：=学&科网【解读】根据多项式的特点,在中添上两项，，即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。【举一反三】因式分解【答案】三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。例3：因式分解解：=设，则于是，原式【解读】对两个二次三项式进行因式分解后再根据实际情况两两相乘，从而形成

3、一个可以换元的整体，进而利用换元法即可进行因式分解。【举一反三】因式分解【答案】四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。例4：因式分解解：学&科网【解读】将多项式展开再重新组合，分组分解即可。【举一反三】因式分解【答案】【解析】先运用完全平方公式进行展开，再利用分组分解法即可进行因式分解。解：五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。例5：因式分解解：学&科网【解读】将多项式以为主元，进行整理后即

4、可运用分组分解法进行因式分解。【举一反三】因式分解【答案】【解析】这是一个轮换对称多项式，不妨以为主元进行整理解：【强化训练】1．因式分解：.【来源】【学易金卷】2016-2017学年上期末考试原创模拟卷（1）初二数学（教师版）【答案】2．阅读下面解题过程，然后回答问题.分解因式：.[来源:Zxxk.Com]解：原式=====上述因式分解的方法称为”配方法”.请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式：.【来源】辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2017-2018学年八年级上学期期末考试数学试题【答案】（y-1）(y-3)【解析】试题分析：根据配方法，可得平方差公式，根据平方

5、差公式，可得答案．试题解析：=====3．因式分解：（1）（a+b）2+6（a+b）+9；　　　　　　　　　　　（2）（x﹣y）2﹣9（x+y）2；（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．（4）(x2－5)2＋8(5－x2)＋16.【来源】江苏省启东市建新中学2017-2018学年八年级上学期第二次月考（12月）数学试题【答案】（1）（a+b+3）2；（2）﹣4（2x+y）（x+2y）(3)（x﹣y）（a+b）（a﹣b）(4)(x＋3)2(x－3)2=(x2-9)2=(x＋3)2(x－3)24．下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程.解：设x

6、2-4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4=y2+8y+16=（y+4）2=（x2-4x+4）2.（1）该同学因式分解的结果是否彻底?_______________.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________.[来源:学科网ZXXK]（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解.【来源】北京四中2017-2018学年上学期初中八年级期中考试数学试卷【答案】（1）不彻底；（x-2）4；（2）（x-1）45．先阅读，再因式分解：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2

7、x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法把多项式x4＋324因式分解．【来源】重庆市梁平县荫平镇初级中学华东师大版2016-2017学年七年级下学期期中考试数学试题【答案】(x2＋18＋6x)(x2＋18－6x)．【解析】试题分析：仿照材料依据完全平方式的特点将x4＋324加上2×18x2使之成为完全平方式，再减去2×18x2，前三项利用完全平方公式分解，然后再与最后一项利用平方差公式分解即可．试题解析：x4＋324＝x4＋36x2＋324－36x2＝(x2＋1