二次函数图象和综合性质

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1、二次函数应用（1）二次函数与图形面积一、教学目标：知识与技能1、会列二次函数关系式，能计算二次函数最大（小）值；2、能够应用二次函数解决面积中的最大值问题；3、体会函数思想、方程思想、数形结合的思过程与方法过程与方法1.经历应用二次函数解决实际问题的过程，提高研究数学问题的技能及解决实际问题的能力。2.能根据二次函数图象、性质求最大值，体验数形结合的思想具体感知数形结合的思想在二次函数中的应用情感态度与价值观能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识运用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。二、教学重、难点：教学重点：建立几何图形与线段间的二

2、次函数关系。教学难点：灵活运用二次函数知识解决相关问题。三、教具学具：多媒体平台四、教学方法：探讨、合作、交流五、学法指导：分析和表示在不同条件下的二次函数关系式六、教学过程：【活动一】展示图片复习二次函数性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象是抛物线，当a＞0时抛物线开口向上,函数有最小值，x=-时函数最小值为y=；当a＜0时抛物线开口向下，函数有最大值,x=-时函数最大值为y=。【活动二】利用二次函数解决实际问题x例1．用8m长的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少米时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解：设矩形窗框

3、的面积为y,由题意得y=·x例2.变式:图中窗户边框的上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为6.8米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(π=3)?解：设窗户透光面积为S，根据题意得S=2xy+0.5πx2（0＜x＜0.68)=-7x2-πx2+6.8x+0.5πx2又∵π=3∴S=-8.5x2+6.8x当x=-=0.4米时，窗户透光面积S有最大值,最大值为1.36平方米【活动三】归纳解题步骤运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，解题的一般步骤是怎样的？1.求出函数解析式2.求出自变更量的取值范围3.通过配方变形

4、，或根据顶点公式求它的最大值或最小值。注意：二次函数中求得最值时，顶点横坐标在自变量的取值范围内时，在函数的顶点处取最值；若顶点横坐标没有在自变量的取值范围内应该根据实际情况确定最值。【活动四】强化认识例3.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）。 （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值。ABCDPQ（1）分别表示出PB、BQ的长，根据三角

5、形的面积公式即可求出解析式；（2）根据（1）得出的函数关系式求出△PBQ的面积的最大值 学生讨论交流求出解析式解：（1）∵PB=AB−AP=18−2x,BQ=x∴S△PBQ=PB∙BQ×y=x(18−2x)×(0＜x≤4)即y=-x2+9x（2）由（1）知：y=-x2+9x∴y=−(x−4.5)2+4.52∵a=-1对称轴x=4.5∴当0＜x≤4.5时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4∴当x=4时，y有最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2。练习1.如图1是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（

6、1，2.25），则该抛物线的解析式为____________，如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。BAOXY图2墙DABC图12.现用80米长的篱笆靠着一面墙围成一个矩形场地（如上图2）（1）若这一面墙长50米AD长多少米时矩形场地的面积最大？最大值是多少？（2）若这面墙长38米求矩形场地的最大面积是多少。学了今天的内容，你感悟最深的是什么？实际问题抽象转化数学问题运用数学知识问题的解返回解释【活动五】巩固与思考巩固练习：已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长分别为多

7、少？课后思考：已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？ABCDEFK【活动六】课堂小结：1、通过本节课的学习，学生对利用二次函数解决最值问题有了一定的认识，并能够运用函数知识解决简单最值问题。2、你对本节课内容都有哪些新的认识、理解？你对利用二次函数解决最值问题还有什么困惑？同学们小组组织探讨交流。板书设计二次函数应用（1）一、复习二次函数性质二、利用二次函数解决实际问题例1例2三、归纳解题步骤四、强化练习五、巩固与思考六、课堂小结