三角点阵中前n行点数和的计算与拓展导学案

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1、第二十一章数学活动三角点阵中前n行的点数计算及拓展导学案武汉市光谷第二初级中学姜海轮一、导学（一）活动导入老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”（板书课题）（二）活动目标1．通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律2.探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.3.运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.4.通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.（三）活动重难点重点：探索三角及

2、正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.二、活动过程探究一三角形点阵1．活动指导（1）活动內容：三角形点阵.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…．观察图形，完成下面各题.图1①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整前n行数12345…10…n点数和……②若该三

3、角点阵前n行的点数和是300，求行数n．③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由．④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？⑤在④中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.②差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间

4、互相交流.4.强化：（1）三角点阵中前n行的点数和的计算公式.（2）运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.探究二正六边形点阵1．活动指导（1）活动內容：正六边形点阵.（2）活动时间：5分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推．①填写下表：层数1234…该层对应的点数…所有层的总点数…②写出第n层所对应的点数（n≥2）；③写出所有n层的正六边形点阵的总点数（n≥2）；④如果点阵中所有层的总

5、点数为331，请求出它共有几层？⑤点阵设计大赛：设计时间：5分钟.设计要求：○a每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探索提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.图例：○b每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.○c优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会归纳所有n层的正六边形点阵的总点数.②差异指导：对困难学生在归纳所有n层的正六边形点阵的总点数方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：探索正六边形

6、的点阵的方法.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.课后巩固：1.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；①1=1②1+2=；③1+2+3=；④.（2）通过猜想，写出（1）

7、中与第九个点阵相对应的等式.（3）2015是“三角形数”吗？为什么？（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．2①1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=4⑤.（5）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式：.（6）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？2.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下

8、去，则第几个图形由217个圆组成？……3.如图：正五边形点阵，它的中心是一个点，