数形结合在函数学习中妙用

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1、例谈数形结合在高中函数学习中妙用摘要：数形结合作为一种重要的数学思维方法，数形结合大致可分为两种情形：一种是助于数的精确性来阐明图象具有某些属性，即“数”上构“形”；另一种是助于形的几何直观性来阐明数之间有某种关系，即“形”中觅“数”。本文通过利用数形结合思想，借助于函数图象性质研究函数的性质及函数图象几何特征与数量特征紧密结合的思想与方法，运用这种思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果，解决了中学数学中函数概念学习的抽象性问题，加强对函数概念、函数性质的认识能力，培养其运用已知函数图形的几何特征深入剖析，学会利用函数图象研究函数性质，挖掘函数未

2、知性质能力，以达到在学习函数及解函数题时能识图、作图、用图目的。关键词：数形结合；函数；方程一、数形结合在学习函数概念时的妙用在学习函数奇偶性时候，同学们很难理解为什么要函数/(兀)定义域关于原点对称且满足/(X)=/(-X)的函数才能称为偶函数；为什么要/(力定义域关于原点对称H满足-M=/(-X)的函数才能称为奇函数。此时我们如果借助函数图象来解释的话，那将变得直观明了。例如：/(X)=X2(XG/?)的图象分析：如图我们作出/(x)=X2的图像，并且我任意作直线,y=6/(处/?)与/(%)=X2的图像交于两点，由于二次函数关于y轴对称可知对应坐标

3、互为相反数，所以满足/(%)=/(-%)；但是如果我把函数定义域规定为｛xx>0｝的话，函数图像只有有半只就不会关于y轴对称也就不会满足f(x)=f(-x)所以函数就不会是偶函数了。例如：f(x)=X(XG/?)的图像中心对称，故有A、B两点横坐标为xA=-a>xH=a,所以满足-f(x)=f(-x)；但是如果我把函数定义域规定为｛xx>Q｝的话，函数图像只有有半只就不会关于y轴对称也就不会满足-/(x)=/(-x)所以函数就不会是偶函数了。二、数形结合在解方程时的妙用例如已知G>1,求方程少1=

4、10g/

5、的实根的个数分析：次方程为超越方程，由于高

6、中生知识水平有限，直接求解无法入手，此I］寸可看作是求两函数=卅与gM=log/I函数图像交点个数，在同一直角坐标系中画出它们图像如下如上图所示，/(x)=与g(x)=

7、log/

8、函数图像交于A点，所以很直观的就得出答案，即简洁又明了。例如：已知6Z>1,X],兀2分别是方程X+/=2与兀+log；：=2的根，求解兀]+兀2的值。分析：召+吃使我们联想到韦达定理、终点坐标公式，但是育接求解方程难度太大,因此我们可将方程变形为^=2-%与logj=2-X,此时就可以看作两个超越函数求解。分别画出f(x)=ax>g(x)=10g(：、r(x)=2-x在同一

9、直角坐标系的M,所以M为A,B中点,x}+x2=2xm由于y(x)=x和加»=2—兀相互垂直相交与M可解得xM=1所以£+兀2=2三、数形结合在解二次函数时妙用例如:已知二次函数/(x)=(1+x)2-2(x>-1)求/(x)=/_,(x)的解分析：本题若按常规思路先求=(x>-l)在利用等式(1+兀)2_2二历耳-1整理得4次方程，求解困难；因此我们想到利用数形结合的思想，在同一直角坐标系中分别画出/(兀)与fx)的图像如下从图像我们很直观的看出f(x)=f-x)的解只有一个，因为它们互为反函数所以方程/(x)=厂(兀)与/(兀)=兀同解，解得兀=

10、骂1。通过利用数形结合思想，透彻地明确了题FI隐含条件，深入的瓦解了题FI难度，使Z变得简单易懂。四、数形结合在解三角函数时妙用例如：已知0,—,求证：sin&I2丿分析：此题题目虽短，但是下手光靠代数方法根本无法下手，这时介入我们数形结合的思想，马上就柳暗花明了。分别在图像上表示出sin。、&、tan^,图像如下：如图圆0是单位圆，设e=ZAOB,从图像上我们很直观的可以看出三角形AOB的面积〈扇形AOB的面积〈三角形COB的面积，又转化为代数运算-

11、OB

12、

13、AT

14、<-OB&v~OB\BC,即

15、AT

16、<0

17、在单位圆中OA=OB

18、=有sin屮!,tangBe所以sin&v&v(an&成立。OB五、数形结合在求无理函数最值时妙用例如：求已知函数/(%)=Jx2+4+a/x2-1Ox+29最小值。分析：本题是一道复杂的无理函数的问题，若单纯地用代数方法做难度较大。我们将原式变换为jx)=J(兀-0『+(0-2『+J(x—+(0+2『再利用换用数形结合的思想，建立直角坐标系从几何意义入手，图像如下：从图上我们很直观看出/⑴=J(x—0)2+(0+2)2+J(—5)2+(0+2)2表示的几何意义，即三角形ABC两边之和大于第三边得/(x)=J(x-0)2+(0+2『*J(x—5)2+

19、(0+2『=

20、CA

21、+

22、C/?

23、>

24、AB

25、二J(0-5)2+(2+2『二阿其屮等