数形结合在数学中的妙用

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1、数形结合在数学中的妙用数形结合思想是数学中的一种非常重要的数学思想，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。但问题在解题过程中如何进行数形结合呢？即怎样催化数与形的结合呢？最好的方法就是运用数形结合的催化剂——联想，运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。一、数形结合在函数中的妙用在函数教学中，函数及其图象为数形结合的教学开辟了广阔的天地。函数的图象是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图象的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和

2、结果的验证。如二次函数、指数函数和对数函数等等，根据函数图象讨论函数的性质，借助函数图象的直观解决实际问题，使学生学得轻松有趣。既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图象和性质的理解，使数与形在学生的头脑中密切地结合起来。如：例1：判断下式中x的正负2x=1.2分析：考察指数函数y=2x，因a=2>1，在定义域(-∞，+∞)上是增函数，故画出草图，从图中可知，该函数在区间(0，+∞)上有y>1。因此，从2x=1.2>1可知x>0。例2：由函数与函数y=2的图象围成一

3、个封闭图形，这个封闭图形的面积是_______．分析：本题不能直接求解（高中阶段没有此类图形的面积公式），初看好象是偏题、怪题，但如果借助于图形的对称性并利用割补法，则可将之转化为一个等积矩形的面积问题．学生可直接看出答案。解题回顾：本题利用了数形结合方法计算面积．图象的对称性可以使棘手的问题简单化，转化为常规的问题，体现了数学中把未知转化为已知的思想方法。二、数形结合在复数中的妙用作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，y引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的

4、分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。解与复数有关的最值问题时，利用复数的几何色彩，将使解题过程更为巧妙。三、数形结合在不等式中的妙用某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可能找到新颖别致的解法，借助“形”使我们对问题本身不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解。例4：不等式的解集是分析：如果按照一般的常规解法，该题较繁杂，若转化为图形处理，以形辅数就方便多了。可令，y2=x+2，在同一坐标系

5、中分别作出它们的函数图象。已知原不等式有意义的x值为-2≤x≤2，从图象中观察可见，使y1>y2成立的取值范围是(-2,0)。四、数形结合在证明中的应用例5:设a,b,c为ΔABC的三边的长，求证分析：用证明不等式的一般方法证明结论较为繁琐．由左边诸分母的结构形式，可联想到构造的内切圆，利用图就可以将左边化简，于是原不等式可证．证明：设⊙O为ΔABC的内切圆，则有于是结论得证。例6：设D为ΔABC边上一点，而BD=2DC，求证：AB2+2AC2=3AD2+6CD2分析：若单从几何角度看，已

6、知条件和论证的目标相距较远，不易下手。如果我们建立如图所示的直角坐标系，使数形结合，综合应用解决。可设四点的坐标分别是A(x,y)，B(-2a,0)，C(a,0)，D(0,0)，则有：

7、AB

8、2+2

9、AC

10、2=[(x+2a)2+y2]+2[(x-a)2+y2]=3(x2+y2)+6a23

11、AD

12、2+6

13、CD

14、2=3(x2+y2)+6a2即可证得：

15、AB

16、2+2

17、AC

18、2=3

19、AD

20、2+6

21、CD

22、2综上所述可见，数形结合是学好数学的一把钥匙。它可将一些看似复杂的问题变得非常简单，也常使一些难于下手

23、的问题迎刃而解。利用图形的直观性解题，巧妙地简化了大量繁杂的计算和逻辑推理过程，构思新颖，解题简洁。其方法的丰富内涵对培养与发展学生的思维能力、解题能力极为有用，也有助于增强学生的数素养，因而这种方法在数学教学中应给予足够重视。