华东理工大学线性代数课件LA 2-5

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1、2.5行列式的应用定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵的伴随矩阵.也记作adjA.一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式注意下标定理1证明则同理可得证明定理2矩阵可逆的充要条件是，且证明必要性，若可逆，按逆矩阵的定义得证毕。推论证明奇异矩阵与非奇异矩阵的定义矩阵乘积可逆与否的判定设A、B均为n阶方阵，则若A或B不可逆，则AB必不可逆AB可逆，则A、B均可逆由

2、AB

3、=

4、A

5、

6、B

7、以及可逆与矩阵奇异性的关系可得证。解例1代数余子式的符号不能丢设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概

8、念二、克拉默法则定理3如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为证明在把个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.逆否命题如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理推论1如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有零解.三、重要定理推论2如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.例4解线性方程组解由于方程

9、组的系数行列式同理可得故方程组的唯一解为:例5问取何值时，齐次方程组有非零解？解齐次方程组有非零解，则所以或时齐次方程组有非零解.四、小结3.用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.4.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.思考题当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?思考题解答不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.