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1、华东理工大学线性代数作业簿（第七册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________5.1方阵的特征值与特征向量1.选择题(1)设为方阵的特征值，则().(A)矩阵的对应特征值的所有特征向量构成一个向量空间;(B)矩阵的对应特征值的特征向量一定有无穷多个;(C)对应特征值的特征子空间的维数等于矩阵()的秩;(D)矩阵()一定可逆.解：B.若是对应的特征向量，那么()也是对应的特征向量，故有无穷多个。注：特征向量一定是非零向量，矩阵的对应特征值的
2、所有特征向量和零向量一起才构成向量空间，即特征子空间。(2)设为方阵的特征值，则矩阵()一定有特征值().(A);(B);(C)1/;(D)0.解：D.因为方阵的特征值，故矩阵()的行列式等于0，故0一定是矩阵()的特征值。(3)设阶方阵和有完全相同的特征值，如下错误的是().(A);(B);(C)矩阵和有完全相同的特征向量;(D)矩阵和有相同的奇异性(同为可逆或同为不可逆).解：C.比如二阶矩阵有相同的特征值（二重特征值），但和的对应的特征向量不同.(4)设,且有特征值,则=().(A);(B);(C);(D).解:B.一方面；又,所以得.(5)设为实正交矩阵,即
3、,则的特征值只能是().(A)1;(B);(C)0;(D).解:D.设是的特征值,是对应的特征向量,即有,所以有,另一方面,又有,结合上述两式得,即.2.计算题（1）求矩阵的特征值与特征向量.解:由,得的特征值为:,当时,解方程,由,得基础解系为,，故对应的全部特征向量为;当时,解方程,由,得基础解系为,故对应的全部特征向量为.(2)已知3阶矩阵有特征值,,求的特征值.解:当是的特征值时,则矩阵的多项式必有特征值.记,故有特征值:,,.(3)设矩阵,且的特征值为,求.解:,因为有特征值为得:,即,解得,无限制,故.(4)设向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值.
4、解：设,左乘得,即,即,解得,,故有或.3.证明题(1)设分别是矩阵属于不同特征值的特征向量,试证:不可能是的特征向量.证明:设是的对应于特征值的特征向量,即有,另一方面,又有,综上得,再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”,知必有即得,与已知条件矛盾,故命题得证.(2)设，，试证明的特征值为,并求.（本题可选做.提示：利用哈密尔顿----卡莱定理:若为矩阵的特征多项式，则为零矩阵）证明：根据计算题(1)知的特征多项式为：,因的特征值为，，5，故的特征值为：，，.，因为的特征多项式，故,代入得==1，即的特征值为.由，知，又因，代入得.5.2相似矩阵
5、1.选择题(1)设两个不同的阶矩阵与相似，则错误的选项是().(A);(B)与有相同的特征值;(C)与等价;(D)若存在可逆阵使为对角阵，则也是对角阵.解：D.选项A，B显然正确.又若与相似，则存在可逆阵使，即可通过矩阵初等变换化为，故与等价，即选项C也正确.(2)已知是阶可逆矩阵，如果与矩阵相似，则下列四个命题中，正确的命题共有()个.a)与相似；b)与相似；c)与相似；d)与相似.(A);(B);(C);(D).解：A.选项b、c、d显然成立；因为，故选项a也成立.(3)设矩阵与对角阵相似，其中，则如下错误的选项是().(A)矩阵可逆;(B);(C)与单位阵相似
6、;(D)有特征值.解：C.可逆阵一定与单位阵等价，但未必与单位阵相似。选项A、B、D显然成立.2.判断下列矩阵能否与对角阵相似，并说明理由.(1);(2);(3).解：(1)显然有三个不同的特征值,故有三个线性无关的特征向量,从而相似于对角阵.(2),由得A的特征值由知方程组有两个线性无关的特征向量；而单根必有另一特征向量,故有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵能够相似于对角阵.(3),由得A的特征值又,故方程组只有一个线性无关的特征向量,三阶矩阵没有三个线性无关的特征向量,故不能相似于对角阵.3.设矩阵，求.解:由,可得矩阵的特征值.易求：对应特征值,有两个线性
7、无关特征向量,；对应特征值,有一个线性无关特征向量；令,则由，得,故.4．已知矩阵与相似，(1)求；(2)求一个可逆阵，使得.解:(1)由相似于,得,,即，解之得；(2)与有相同的特征值,解方程组,得特征向量,解方程组,得特征向量,解方程组,得特征向量,令,则有.5.3实对称矩阵的对角化1.选择题(1)设为阶实对称矩阵且有特征值，下述错误的选项是().(A)矩阵的特征值均为实数;(B)矩阵的特征向量均为实向量;(C)矩阵一定与对角阵相似;(D)若，则一定为正交阵.解：D.(2)设为实对称矩阵的一个3重特征根，则().(A)矩阵的对应特征值的特征向量线性无关；(B
