华东理工大学线性代数习题答案-第二章

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1、第二章行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数（2）解：（3）解：2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现的只有主对角线上的四个元素的相乘项，该项为，故的系数为6，而可以出现的乘积项有两项，它们是即分别为两项相加，即知的系数为。2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=（2）解：原式==（3）解：原式=（4）解：原式==（5）解：原式=2．4（1）解：原式===（2）

2、解：原式====（3）解：原式=2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质，得证。（2）证：左式右式（3）证：左式==由已2。6证：由已知条件及矩阵，行列式的性质可知:，移项即得2．7解：由=即得2．8（1）证：由，得即，亦即不可逆。（2）证：由=即知2．9证：当阶数为1，2时，命题显然成立。假设对阶数小于等于时命题也成立，则当阶数为时，将按第行展开，即得，由归纳假设，得2．10（1）解：将第3行的（）倍分别加到其余各行后，再按第3列展开，得原式=（2）解：将第列全加到第一列，

3、提取公因子后，再从第2行起，每行乘以（）加到上一行，直至第行为止，得==（3）解法1：将按第一列展开后，即得。亦即=，再由递推公式，将上述个等式相加及，即得解法2：======再由递推公式，即得2．11（1）解：将第行与其上各行逐次交换至第2行，再将第列与其前各列逐次交换至第2列，得==（2）解：将第一行乘加到以下各行，再将第列加到第一列，得=2．12解：由及得2．13解：由及得2．14解：先求各个元素的代数余子式，故又及，得2．15解：依题意，可设，则有系数行列式，由克拉默法则知上述方程组有唯一解，且由知，故2．16

4、解：由克拉默法则知方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于零，即，再由范德蒙德行列式知故只有当互不相等时，方程组有唯一解，且解为2．17（1）解：依题意，有即有再由及得再由知，必有（2）解：由（1）可知及，所以在的两端同时左乘，得，即亦即2．18解：由克拉默法则作用在齐次线性方程组上的逆否命题知，若要方程组有非零解，则必须有系数行列式等于零，即，而，故只需或时，齐次方程组即有非零解。