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1、第二章向量组的线性相关性§2-1§2-2维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1.设,其中,则.2.设则线性组合.3.设矩阵，设为矩阵的第个列向量，则.二、试确定下列向量组的线性相关性1.解：设则即，线性无关。1.线性相关三、设有向量组，问取何值时该向量组线性相关。解：设则即所以，,线性相关;,线性无关四、设线性无关，线性相关，求向量用线性表示的表示式。解：因为线性相关，所以存在不全为零的，，使得即+b=.又因为线性无关，所以+，于是，b=.五、已知向量组，令，求证向量组线性相关。解：因为，所以，向量组
2、线性相关。§2-2线性相关与线性无关（二）一、设线性相关，线性相关，问是否一定线性相关？并举例说明之。解：取,.线性相关。取,.线性无关。二、举例说明下列各命题是错误的：1．若向量组是线性相关的，则可由线性表示。解：取.2．若有不全为0的数,使成立，则是线性相关，是线性相关.解：取,.3．若只有当全为0时，等式才能成立，则是线性无关，是线性无关。解：取,.4．若是线性相关，是线性相关，则有不全为0的数，使同时成立。解：取,.三、设向量组线性相关，且,证明存在某个向量)，使能由线性表示。证明：因为向量组线性相
3、关，所以存在不全为零的，，使得。设，，中最后一个不为零的数是，即，，又因为，所以，。即有)，使得，于是，，命题得证。四、已知,证明：（1）能由线性表示。（2）不能由线性表示。证明：（1）因为，所以线性无关，由定理1知也线性无关；又因为，所以，线性相关，由定理3得能由线性表示。（2）反证法。假设能由线性表示。再利用（1）的结果，可推出能由线性表示，由定理2得线性相关，与矛盾。所以，不能由线性表示。三、设,,，且向量线性无关，证明向量组线性无关。证明：设，则而向量线性无关，所以，所以，向量组线性无关。§2-3极
4、大无关组（一）一、证明n阶单位矩阵的秩为n.证明：n阶单位矩阵的列向量组为,设,则所以，线性无关，秩为n，则n阶单位矩阵的秩为n.二、设矩阵其中)则.证明：设矩阵的列向量组为设,则所以，线性无关，秩为n，则.三、求下列向量组的秩1.R=32.解：A=()=所以，R()=2,为极大无关组。三、设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。证明：因为维单位坐标向量能由线性表示，所以，，而，，所以，于是，线性无关。四、设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表
5、示。证明：充分性：如果任一维向量都可由线性表示，则维单位坐标向量能由线性表示，利用上一题的结果，线性无关。必要性：如果线性无关，对于任一维向量.如果,则，所以，向量能由线性表示。如果，则这n+1个n维向量线性相关，而线性无关，由定理3得向量能由线性表示。（另证：如果线性无关，而的维数是n，所以为的一组基，所以中的一维向量都可由它们线性表示。）§2-3极大无关组（二）一、设为同阶矩阵，求证。证明：设A的列向量组为，极大无关组为；B的列向量组为，极大无关组为.则A+B的列向量组为能由(A,B)的列向量组线性表示
6、，所以，.又(A,B)的列向量组能由，所以，.二、设向量组能由向量组线性表示其中为矩阵，且线性无关。证明线性无关的充分表要条件是矩阵的秩为.证明 若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则 综上所述知即．若,则的列向两组线性无关。令,其中为实数则有又,则由于线性无关,所以.由的列向两组线性无关知三、设证明：向量组与向量组等价。证明：因为所以，向量组可以由向量组线性表示。把各式相加后得可得所以，向量组可以由向量组线性表示。由上，向量组与向量组等价。四、已
7、知3阶矩阵与3维列向量满足，且向量组线性无关，记，求3阶矩阵使.提示：§2-4§2-5向量空间，内积与标准正交基一、设,,,问是不是向量空间，为什么？答：是，不是，是二、验证：为的一个基,并把用这个基线性表示.解：()=所以，.二、证明中不存在n+1个线性无关的向量，从而中不存在n+1个两两正交的非零向量。证明：因为的维数是n，所以中不存在n+1个线性无关的向量。又因为两两正交的非零向量，中不存在n+1个两两正交的非零向量。四、把下列向量组规范正交化解：；所以，.六、证明下列各题(1)为维列向量，且,求证：
8、是对称的正交阵。(2)设为同阶正交阵，证明：也是正交阵。证明：(1)，H对称；，H正交。(2)因为为同阶正交阵，所以，，于是，，所以，也是正交阵。复习题一、设求3.二、设求.三、向量是否为向量组的线性组合？若是，写出一个线性表达式.四、设,向量组线性无关，求证：向量组也线性无关。五、求下列向量组的秩，并求出一个最大无关组1、2、3、六、设有矩阵，且。若，试证明的列向量组线性无关。七、已知及，证明：.八、设为阶方阵
