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1、第二章向量组的线性相关性§2-1§2-2维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1.设,其中,则.2.设则线性组合.3.设矩阵，设为矩阵的第个列向量，则.二、试确定下列向量组的线性相关性1.解：设则即矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。，线性无关.2.线性相关三、设有向量组，问取何值时该向量组线性相关.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：设则即残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。所以，,线性相关;,线性无关四、设线性无关，线性相关，求向量用线性表示的表示式.解：因为线性相关，所以存在不全为零的，，使得即+b=.又因为线性无关，所以+，于是，b=.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。五、已知向量组，令，求证向量组线性相
2、关.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解：因为，所以，向量组线性相关.§2-2线性相关与线性无关（二）一、设线性相关，线性相关，问是否一定线性相关？并举例说明之.解：取,.线性相关.取,.线性无关.二、举例说明下列各命题是错误的：1．若向量组是线性相关的，则可由线性表示.解：取.2．若有不全为0的数,使成立，则是线性相关，是线性相关.解：取,.3．若只有当全为0时，等式才能成立，则是线性无关，是线性无关.解：取,.4．若是线性相关，是线性相关，则有不全为0的数，使謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。同时成立.解：取,.三、设向量组线性相关，且,证明存在某个向量)，使能由线性表示.厦礴恳蹒骈時盡
3、继價骚。证明：因为向量组线性相关，所以存在不全为零的，，使得.设，，中最后一个不为零的数是，即，，又因为，所以，.即有)，使得，于是，，命题得证.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。三、已知,证明：（1）能由线性表示.（2）不能由线性表示.证明：（1）因为，所以线性无关，由定理1知也线性无关；又因为，所以，线性相关，由定理3得能由线性表示.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。（2）反证法.假设能由线性表示.再利用（1）的结果，可推出能由线性表示，由定理2得线性相关，与矛盾.所以，不能由线性表示.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。四、设,,，且向量线性无关，证明向量组线性无关.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。证明：设，
4、则而向量线性无关，所以，所以，向量组线性无关.§2-3极大无关组（一）一、证明n阶单位矩阵的秩为n.证明：n阶单位矩阵的列向量组为,设,则渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。所以，线性无关，秩为n，则n阶单位矩阵的秩为n.二、设矩阵其中)则.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。证明：设矩阵的列向量组为设,则擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。所以，线性无关，秩为n，则.三、求下列向量组的秩1.R=32.解：A=()=贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。所以，R()=2,为极大无关组.三、设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。证明：因为维单位坐标向量能由线性表示，所以，，而，
5、，所以，于是，线性无关.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。四、设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。证明：充分性：如果任一维向量都可由线性表示，则维单位坐标向量能由线性表示，利用上一题的结果，线性无关.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。必要性：如果线性无关，对于任一维向量.如果,则，所以，向量能由线性表示.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。如果，则这n+1个n维向量线性相关，而线性无关，由定理3得向量能由线性表示.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。（另证：如果线性无关，而的维数是n，所以为的一组基，所以中的一维向量都可由它们线性表示.）锹籁饗迳琐筆襖鸥
6、娅薔。§2-3极大无关组（二）一、设为同阶矩阵，求证.证明：设A的列向量组为，极大无关组为；B的列向量组为，极大无关组为.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。则A+B的列向量组为能由(A,B)的列向量组线性表示，所以，.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。又(A,B)的列向量组能由，所以，尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。.二、设向量组能由向量组线性表示其中为矩阵，且线性无关.证明线性无关的充分表要条件是矩阵的秩为.证明 若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则综上所述知即．若,则的列向两组线性无关.令,其中为实数则有又,则由于线性无关,所以.由的列
7、向两组线性无关知三、设识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。证明：向量组与向量组等价.证明：因为凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。所以，向量组可以由向量组线性表示.把各式相加后得恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。可得鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。所以，向量组可以由向量组线性表示.由上，向量组与向量组等价.四、已知3阶矩阵与3维列向量满足，且向量组线性无关，记，求3阶矩阵使.提示：§2-4§2-5向量空间，内积与标准正交基一、设,,,问是不是向量空间，为什么？答：是，不是，是二、验证：为的一个基,并把用这个基线性表示.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。解：()=阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。所以，
