资源描述：
《线性代数第二章习题部分答案(.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章向量组的线性相关性§2-1§2-2?维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1.设3α1−α+2α2+α=5α3+α,其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T,α3=(4,1,−1,1)T,则α=(1,2,3,4)T.2.设α1=(1,1,1)T,α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3=(−5,0,2)T.3.设矩阵A=137240115，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3=(−2,8,−2)T.二、试确定下列向量组的线性相关性1.α1=(2,1,0)T
2、,α2=(1,2,1)T,α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1210+k2121+k3111=000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0k1=k2=k3=0，线性无关。2.α1=(1,−1,2)T,α2=(0,0,0)T,α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T,α2=(1,3,−1)T,α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。解：设k1α1+
3、k2α2+k3α3=0,则k1110+k213−1+k35−3t=0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4,线性相关;t≠4,线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0,即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因
4、为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。解：因为β1−β2+β3−β4+⋯+β2n−1−β2n=0，所以，向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。§2-2线性相关与线性无关（二）一、设a1,a2线性相关，b1,b2线性相关，问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？并举例说明之。解：取a1=00,a2=10,b1=00,b2=01.a1+b1,
5、a2+b2线性相关。取a1=00,a2=10,b1=01,b2=00.a1+b1,a2+b2线性无关。二、举例说明下列各命题是错误的：1．若向量组a1,a2,⋯,am是线性相关的，则a1可由a2,⋯,am线性表示。解：取a1=10,a2=00.2．若有不全为0的数λ1，λ2，⋯，λm,使λ1a1+λ2a2+⋯λmam+λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0成立，则a1,a2,⋯,am是线性相关，b1,b2,⋯,bm是线性相关.解：取a1=01,a2=10,b1=10,b2=01.3．若只有当λ1，λ2，⋯，λm全为0时，等式λ1a1+λ2
6、a2+⋯λmam+λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0才能成立，则a1,a2,⋯,am是线性无关，b1,b2,⋯,bm是线性无关。解：取a1=00,a2=10,b1=01,b2=00.4．若a1,a2,⋯,am是线性相关，b1,b2,⋯,bm是线性相关，则有不全为0的数λ1，λ2，⋯，λm，使λ1a1+λ2a2+⋯λmam=0，λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0同时成立。解：取a1=20,a2=10,b1=10,b2=10.三、设向量组a1,a2,⋯,am线性相关，且a1≠0,证明存在某个向量ak(2≤k≤m)，使ak能由a1,⋯,a
7、k−1线性表示。证明：因为向量组a1,a2,⋯,am线性相关，所以存在不全为零的λ1，λ2，⋯,λm使得λ1a1+λ2a2+⋯+λmam=0。设λ1，λ2，⋯,λm中最后一个不为零的数是λk，即λk≠0，λk+1=0⋯,λm=0，又因为a1≠0，所以，λk≠λ1。即有λk≠0(2≤k≤m)，使得λ1a1+λ2a2+⋯+λkak=0，于是，ak=−λ1λka1+−λ2λka2+⋯+−λk−1λkak−1，命题得证。四、已知Ra1,a2,a3=2,Ra2,a3,a4=3,证明：（1）a1能由a2,a3线性表示。（2）a4不能由a1,a2,a
8、3线性表示。证明：（1）因为Ra2,a3,a4=3，所以a2,a3,a4线性无关，由定理1知a2,a3也线性无关；又因为Ra1,a2,a3=2，所以，a1,a2,a3线性相关，由定理3得a1能由a2,a3线
