2012北京市高三二模理科数学分类汇编全集

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1、2012北京市高三二模理科数学分类汇编一、集合（必修一）1.（2012年西城二模理1）已知集合，，其中．若，则的取值范围是（D）A．B.C.D.2.（2012年昌平二模理1）已知全集U=R，集合，，则=（B）A.{}B.{}C.{}D.{}二、函数（必修一）1.（2012年朝阳二模理7）直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是（A）A．B．C．D．2.（2012年朝阳二模理13）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为（）件.当时，年销售总收入为（）

2、万元；当时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，则（万元）与（件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入年总投资）答案：163.（2012年海淀二模理6）为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（A）A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度三

3、、导数及其应用（选修2-2）1.（2012年海淀二模理13）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则.请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是；函数的零点的个数是.答案：；2。2.（2012年西城二模理19）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，．………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．…………3分（Ⅱ）．………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．

4、……5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是，；单调减区间是…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，时不合题意．……10分当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．………………12分当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和

5、最小值，的取值范围是．综上，的取值范围是．………………14分3.（2012年朝阳二模理18）已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．解：（I）的定义域为..根据题意，有，所以，解得或.…3分（II）.（1）当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.…9分（III）由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，且.，令，得.[来源:学§科§网Z§

6、X§X§K]当变化时，，的变化情况如下表：＋0－极大值是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.所以.所以，当时，成立.…14分4.（2012年丰台二模理20）设函数．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）证明：对x1，x2∈R+，都有；（Ⅲ）若，证明：．解：（Ⅰ）时，，()，则．令，得．当时，，在是减函数，当时，，在是增函数，所以在时取得最小值，即．……4分（Ⅱ）因为，所以．所以当时，函数有最小值．x1，x2∈R+，不妨设，则．………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设

7、当(k∈N*)时命题成立，即若，则．当时，，，…，，满足．设，由（Ⅱ）得==．由假设可得，命题成立．所以当时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，所以若，则．……13分（证法二）若，那么由（Ⅱ）可得．5.（2012年昌平二模理18）已知函数R.（Ⅰ）当时，求的单调区间;（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值.解：（Ⅰ）f(x)的定义域为｛x

8、｝……………1分.……3分令，即，∴的增区间为（0，1），……4分令，即，∴的减区间为…………5分（Ⅱ）①当时，在上恒成立，在恒为增函数.……6分，得……7分②当

9、时，令，得.当时，在上为减函数；当时，在上为增函数；，得（舍）……10分③当时，在上恒成立，此时在恒为减函数.，得……12分综上可知…13分6.（2012年东城二模理19）已知函数（）．（Ⅰ）试讨论在区间上的单调性；（Ⅱ）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.解：（Ⅰ）由已知，.由，得，.……4分因为，所以,且．