2012北京市高三二模文科数学分类汇编(3)导数及其应用

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1、三、导数及其应用（选修2-2）1.（2012年西城二模文18）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间．解：（Ⅰ）当时，，．……2分由，得曲线在原点处的切线方程是．……4分（Ⅱ）．………6分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．…7分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．……10分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是；单调减区间是，．……13分综上，时，在，单调递减；在单调递增.时，在单调递增，在单调递减；时，在，单调递增；在单调递减．2.（2012年朝阳二模文18）设函数.（Ⅰ）已知曲线在

2、点处的切线的斜率为，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有．解：（Ⅰ）的定义域为,…1分.……2分根据题意，，[来源:学科网ZXXK]所以，即，解得.………4分（Ⅱ）.（1）当时，因为，所以，，所以，函数在上单调递减.………6分（2）当时，若，则，，函数在上单调递减；若，则，，函数在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知.设，即..…10分当变化时，，的变化情况如下表：－0＋极小值是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.可见，……

3、13分所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有.……14分3.（2012年丰台二模文20）已知函数f(x)=lnx，，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x)

4、求函数的单调区间；(Ⅲ)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为（0，+∞）……1分∵f′(x)=……2分∴，则a=1．……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知∴f′(x)=…6分由f′(x)>0可得x>2或x<1，由f′(x)<0可得1

5、4分5.（2012年东城二模文18）已知函数.（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）由，，，……1分所以.……3分又，所以所求切线方程为即.……5分（Ⅱ）由已知，得.因为函数在上是增函数，所以恒成立，即不等式恒成立.………9分整理得.令…11分的变化情况如下表：+极小值由此得的取值范围是.……13分6.（2012年海淀二模文18）已知函数（，）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.解：.令，解得或.…2分（Ⅰ）当时，，随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.当

6、时，，随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数.又当时，.所以在上的最小值为，最大值为.所以对任意，.所以对任意，使恒成立的实数的最小值为.