2012年北京市各区二模试题汇编--导数及其应用

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1、2012年北京市各区二模试题汇编--导数及其应用一填空选择（2012年东城二模理科）（8）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（A）（B）（C）（D）（2012年海淀二模文理科）8、点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个命题：①；②的面积为定值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A）１（B）２　　　（C）３　（D）０（2012年丰台二模文科）5．函数(A)是偶函数，且在上是减函数(B)是偶函数，且在上是增函数(C)是奇函数，且在上是减函数(D)是奇函数，且在上是增函数（2012年丰台二模理科）3

2、．由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是(A)(B)(C)(D)（2012年房山二模文科）8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是()(A)∪(B)∪(C)∪(D)∪23二解答题（2012年东城二模文科）（18）（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围（18）（共13分）解：（Ⅰ）由，，，………1分所以.……3分又，所以所求切线方程为即.5分（Ⅱ）由已知，得.因为函数在上是增函数，所以恒成立，即不等式恒成立.………………9分整理得.令……11分的变化情况如下表：+极小值由此得的取值范围是.………13分

3、（2012年东城二模理科）（19）（本小题共13分）已知函数（）．（Ⅰ）试讨论在区间上的单调性；23（Ⅱ）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.（19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知，.……2分由，得，.………4分因为，所以,且．所以在区间上，；在区间上，.故在上单调递减，在上单调递增．……6分（Ⅱ）证明：由题意可得，当时，（，且）.即，所以，.……8分因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得.……11分令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，23所以.……………13分（2012年西城二模文科）18．（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）当

4、时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间．18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，，．………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．…………4分（Ⅱ）解：．………………6分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．………………7分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．………10分③当时，与的情况如下：23↗↘↗所以的单调增区间是；单调减区间是，．………………13分综上，时，在，单调递减；在单调递增.时，在单调递增，在单调递减；时，在，单调递增；在单调递减．（2012年西城二模理科）19．（本小题满分14分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲

5、线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当时，，．………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．…………3分（Ⅱ）解：．………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．………………5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：23↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是；单调减区间是，．………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意．………………10分当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，

6、；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．…………12分当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．23综上，的取值范围是．………………14分（2012年海淀二模文科）18、（本小题满分13分）已知函数（，）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.18、（本小题满分13分）解：.令，解得或.…………2分（Ⅰ）当时，，随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.………4分当时，，

7、随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.…6分（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数.又当时，.………………………8分23所以在上的最小值为，最大值为.……10分所以对任意，.所以对任意，使恒成立的实数的最小值为.…………13分（2012年海淀二模理科）(19)（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，求证：函数只有一个零点，且；（Ⅲ）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，