【数学】2011年北京市各区一模试题分类解析(3)导数及其应用

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1、达人教育010-63261009教师一对一您身边的考试专家三、导数及其应用xyO1（2011石景山一模理8）．定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．2(2011海淀一模文12).已知函数，则=________;函数图象在点处的切线方程为_______解答1（2011西城一模理18）.（本小题满分14分）已知函数，其中.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）解：（Ⅰ），（），……………3分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递

2、减区间是和，单调递增区间是.………4分-20-达人教育010-63261009教师一对一您身边的考试专家（Ⅱ）设切点坐标为，则……………7分（1个方程1分）解得，.……………8分（Ⅲ），则，…………………9分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.……………10分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.………………11分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.………………12分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，…………………13分时，最大值为.…………………14分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.2（2

3、011西城一模文18）.（本小题满分14分）-20-达人教育010-63261009教师一对一您身边的考试专家已知函数.（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数）解：（Ⅰ），，……………………2分由得，……………………3分所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增.………………4分所以，是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………5分（Ⅱ）设切点坐标为，则，…………………6分切线的斜率为，所以，，…………………7分解得，，…………………8分所以直线的方程为.…………………

4、9分（Ⅲ），则，…………………10分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.…………………11分当，即时，在区间上，为递增函数，-20-达人教育010-63261009教师一对一您身边的考试专家所以最小值为.…………………12分当，即时，的最小值为.……………13分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最小值为.………………14分综上，当时，最小值为；当时，的最小值；当时，的最小值为.3（2011东城一模理18）（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意，都有成立．（Ⅰ）解：由，可得．当单调递减，当单调递增.所以函数在

5、区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知．由，可得．所以当单调递增，当单调递减.-20-达人教育010-63261009教师一对一您身边的考试专家所以函数在时取得最大值，又，可知，所以对任意，都有成立．4(2011东城一模文18)（本小题共14分）已知函数，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）由，得．当时，得，解之，得．……………………4分（Ⅱ）因为．从而，列表如下：1＋0－0＋↗有极大值↘有极小值↗所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是．……

6、………………9分（Ⅲ）函数，有=，因为函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，-20-达人教育010-63261009教师一对一您身边的考试专家只要，解得，所以的取值范围是．……………………14分5（2011朝阳一模理18）．（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.解:(I)直线的斜率为1.函数的定义域为，因为，所以，所以.所以..由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区间是.……………………4分(II)，由解得；由解得.所以

7、在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则.由解得.-20-达人教育010-63261009教师一对一您身边的考试专家所以的取值范围是.………………………………8分(III)依题得，则.由解得；由解得.所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.又因为函数在区间上有两个零点，所以解得.所以的取值范围是.………………………………………13分6(2011丰台一模理18).（本小题共13分）已知函数，为函数的导函数．（Ⅰ）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；（Ⅱ）