东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案1

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1、工程矩阵理论试卷一、已知的子空间，，分别求的一组基及它们的维数。解：的基为：，2维。的基为：，2维。设，比较，则，，所以基为，1维。为由生成的空间，，其极大线性无关组为：，即为的基，3维。二、设上的线性变换定义为：，，其中，表示矩阵X的迹。1、求在V的基，，，下的矩阵A；2、求的值域及核子空间的基及它们的维数；3、问：是否为直和？为什么？解：1、4，2、的值域：的基为，，，，故故的基即为的极大线性无关组：，为1维。核子空间：，的基础解系：，为3维。3、观察得：的基与线性无关，维数的和为4，故是直和。三、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。分别求A和B的jordan标准

2、形；问：A与B是否相似？为什么？解：由矩阵A的特征多项式及最小多项式相等，均等于，得，。A与B相似，因为它们有相同的jordan标准形。四、已知矩阵，求A的广义逆矩阵4解：对A进行满秩分解：，A应该分解为五、已知矩阵，其中，矩阵A，B的F范数及算子2范数分别是，，，，试求和。解：F范数定义为，算子2范数定义为，表示A中特征值最大为3，表示B中特征值最大为2，M的特征值即为A、B全部特征值，故为A、B中特征值的最大值，。六、设V是一n维欧氏空间，是一单位向量，是一参数，V上的线性变换定义为：，问：当取何值时，是正交变换？解：扩充为V的一组标准正交基，则：4若是正交变换，则A必须为正交矩阵

3、，A的行向量或列向量必须为标准正交基。七、证明题：1、假如A是H阵，证明：是酉矩阵。证明：要证是酉矩阵，即证根据矩阵多项式的性质，（与可交换）是酉矩阵2、设是相容矩阵范数，证明：对任意方阵A，A的谱半径。证明：设A的特征值，为与对应的的特征向量，有两边取范数，是相容范数，，，，（若考虑仅为方阵上的相容矩阵范数，则只需将扩充为的方阵即可）4