东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案3

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1、工程矩阵理论试卷一、假如。1、记。证明：是的子空间。2、若A是单位矩阵，求。3、若，。求这里V（A）的一组基及其维数。4、假如。问：对上一题中的和，是否为直和？说明理由。解：1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有，，。设，，，，是的子空间。2、若A是单位矩阵，则，因为对单位阵I来说，恒成立，故，。3、若，，设，有，即，，→有，故=故X的一组基为，维数为2。74、，即，其基为。下面计算，若，则是直和。。=（、基的极大线性无关组），为极大线性无关组（可以不求，从上式即可看出），+不是直和。二、假如，，在

2、上定义变换如下：。1、证明：是上的线性变换。2、求在的基下的矩阵M。3、试求M的jordan标准形，并写出的最小多项式。4、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？解：1、有：，有←加法封闭，有←数乘封闭是上的线性变换。72、3、M的若当标准形为，的最小多项式为4、，，基础解系为，，，，基础解系为这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到的基，使得的矩阵为对角阵。三、设的子空间，，求，使得。解：思路：求V的基→由该基生成；7V的含义是指在V中找一向量，使得的距离最短，即寻找在V中的正投影。作图如右侧。由，

3、得V的基为，则，，或四、设，求及矩阵函数。解：（2重根）时，，故A的jordan标准形为，A的最小多项式为。令，7（计算略）令，(太麻烦了，不算啦！)五、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。1、分别给出A和B的jordan标准形；2、问：A与B是否相似？为什么？解：A的特征多项式及最小多项式都等于，故A的jordan标准形为：，A和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。7六、已知矩阵，求A的广义逆矩阵。解：对A进行分块：对进行满秩分解，对进行满秩分解，七、证明题：1、假如是欧几里德空间V中单位向

4、量，V上的线性变换如下：对任意，（镜像变换）。证明：是V上的正交变换。证明：要证是V上的正交变换，只要证明下的矩阵是一个正交矩阵即可。将扩充V上的一组标准正交基，7可看出，下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故是V上的正交变换。2、设H阵A，B均是正定的，并且AB=BA，证明：AB是正定矩阵。证明：A，B均是正定的H阵，故，，且酉矩阵P、Q，st.,要证明AB是正定矩阵，首先要证AB是H阵。AB是H阵。即∽，是正定矩阵，故的特征值均大于0，所认特征值也大于0，故AB正定。7