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《高二数学人教A必修5学案：24等比数列一含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、■第二章§2.4J数歹I」等比数列(一)【明目标、知重点】1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用2掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.填要点•记疑点1.等比数列的概念如果一个数列从第2_项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母么表示(qHO).2.等比中项的概念如果°、G、b成等比数列，那么G叫做d与方的等比中项,且G=±^b.3.等比数列的通项公式已知等比数列｛禺｝的首项为如，公比为q,该等比数列的通项公式
2、为应二!.探要点•究所然［情境导学］在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节我们就来研究这类数列.探究点一等比数列的概念思考1阅读教材48页至49页上半页列举了4个实例，请同学们写出这4个实例对应的4个数列，并观察它们有什么共同特点.答这4个数列分别为:©1,2,4,8,16,…；③1,20,202'203,…；④10000X1.0198,10000X1.0198210000X1.01983,10000X1.
3、01984'10000X1.01985.它们的特点为：每一项与它前一项的比等于同一常数.思考2结合等差数列的定义，给等比数列下一个准确定义.答如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(qHO).思考3我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化.如何用符号语言简洁地表示它？思考4下列所给数列屮，是等比数列的为(1)1丄1丄1，••••(2)0,1,2,4,8,….(3)2—*^5,—1,2+"/5,….(4)1,3,9,2
4、7,81,….答案⑴⑶⑷解析(1)中数列显然符合等比数列的定义，公比为1,所以是等比数列；对于(2)由于第一项为0,公比不存在，所以不是等比数列；对于(3咼"盘^=-(2_猛洛苗=呼,所以(3)是等比数列；对于(4)明显能看出是等比数列，公比为3.探究点二等比中项思考1请你类比等差屮项的概念，给出等比屮项的概念.答如果在。与b屮间插入一个数G,使gG,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.思考2下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.对比项等差屮项等比中项定义若a,A,"成等差数列，则A叫做。与方的等差中
5、项若a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项定义式A—a=b—AGba~G公式a+b人-2G=±[ab个数。与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当必＞0时，d与b才有等比中项探究点三等比数列的通项公式思考1如果等比数列｛“｝的首项为⑦，公比为q,你能用归纳的方法给出数列｛禺｝的通项公式吗？答根据等比数列的定义知：ci=acf1a2=ciC]f。3=。29=。1『，G4=d3q=Qi『，。5=血4=側4,…，一般地，有an=aq*.思考2除了利用归纳
6、法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？答根据等比数列的定义得：》=q,》=q,》=q,…，业=心＞1）.°i°2Q3an-1将上面戸一1个等式的左、右两边分别相乘，得丝生色"-1,cia203cin-勺化简得鲁=严，即an=a^-当n=时，上面的等式也成立.:.an=a｛qn~^）.小结（1）等比数列的通项公式为d“=d]q"T（7?EN*）,要注意公式中q的次数为n~而非n.（2）对于公比q,要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒；（3）公比q是任意非零常
7、数，可正可负；（4）首项和公比均不为0.思考3已知等比数列｛©｝的前三项依次为a—1,g+1,g+4,则划等于什么？为什么？答禺=牛（㊁）"T，由己知（d+l）2=（a—l）（d+4）,得0=5,则«
8、=4,9=7=3，・"”=4•⑥"-1小结如果一个数列｛给｝的任意三项满足加+]=為©+2（為工0,则这个数列是等比数列.例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？（放射性物质衰变到原來的一半所盂时间称为这种物质的半衰期）解设这种物质最初的质量是
9、1,经过乃年，剩留量是Q”，由条件可得数列⑺”｝是一个等比数列.其中ci—0.84,q=0.84,设如=0.5,则0・84"=0.5.两边取对数，得nlg0.84=lg0.5,用计算器算得於4・答这种物质的半衰期大约为4年.反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄淸楚等比数列模型中的首项⑦，项数〃所对应的实际含义.
