上海市2016中考数学压轴题解题策略：直角三角形的存在性问题

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1、中考数学压轴题解题策略直角三角形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期FI专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，笫三步解方程并验根.一般情况下，按照肓角顶点或者斜边分类，然麻按照三角比或勾股定理列方程.有时根据肓如三如形斜边上的屮线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直用边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便.在平血氏角坐标系屮，两点间的距离公式常常用到.怎样血直

2、角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，笫三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画闘，直角顶点在鬪上（不含直径的两个端点）.例题解析4例❶如图1-1,在AABC中，AB=AC=,cosZB=-.D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边）,运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止.过E作EF//AC交AB于F,连结DF.设BD=x,如果△BDF为直角三角形，求兀的值.图1-15由EFHAC,得竺=些,即竺=凹.BABC10168【解析】△BDF中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直

3、角三角形BDF存在两种情况.如果把夹ZB的两条边用含有兀的式子表示岀來，分两种情况列方程就可以了.如图1・2,作AH丄BC,垂足为H,那么H是3C的中点•4在RtAABH中，AB=,cosZB=_,所以BH=8.所以BC=16.图1-2D图1-3①如图1・3,当ZBDF=90°时，由cosZB=—=-BF5D图1-44得BD=-BF.5②如图M当仔”90。时，由c"喘W4得BF=-BD.5解方程尢骨討+3),彳"M7j^S.—x+—=—x,Wx=—•8857我们看到，在画示意图时，无须受到AABC的“限制”，只需要取其确定的ZB.例❷

4、如图2・1,己知A、B是线段上的两点，=4，w=i,mb>1・以4为中心顺时针旋转点M,以3为中心逆时针旋转点M使M、/V两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x9若ZUBC为直角三角形，求兀的值.02-1【解析】'KBC的三边长都可以表示出来，AC=1,AB=x,BC=3~x.如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种一情况：①若AC为斜边，贝ljl=x2+(3-x)2,即x2-3x+4=0,此方程无实根.②若AB为斜边，则x2=(3-x)2+1,解得x=

5、(如图2・2).③若BC为斜边，贝9(3-x)2=1+x2,解得x=-(

6、如图2・3).54因此当x=-或"丄时，ZBC是直角三允形.33图2-2图2-3例❸如图3・1,已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),点B是点A关于原2点的对称点，P是函数y=-(x>0)图彖上的一点，R/XABP是直角三角形，求点P的坐标.图3・1【解析】A、B两点是确定的，以线段为分类标准，分三种情况._如果线段为直角边，那么过点A画4B的垂线，与第一象限内的一支双曲线没冇交点；过点B画的垂线，有1个交点.以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点.如果是一元二次方程，那么可能是

7、一个交点，也可.能是两个交点.由题意，得点B的坐标为（2,0）,不町能成为直角.①如图3・2,当ZABP=90°时，点P的坐标为（2,1）.②方法一：如图3・3,当ZAPB=90°时，OP是Rt/XAPB的斜边上的屮线，OP=2.设P（x,-）,由0严=4,得x2+^=4.=.此时P（V2,V2）.方法二：由勾股定理，得PA2+PB2=AB2.解方程（x+2）2+（-）2+（兀+2）2+（-）2=42,得兀=±VLXX方法三：如图3・4,由△AHPsAphb,得ph1=AH・BH.解方程（一）2=（兀+2）（2—兀），得兀=±血・这三种解

8、法的方程貌似差界很大，转化为整式方程之后都是（,一2）2=0.这个四次方程的解是兀

9、=兀2=血，兀3=应=J，它的几何意义就是以AB为直径的関与双曲线相切于P、P两点（如图3・5）.例❹如图4・1,已知直线y=kx~6经过点“1,—4）,与兀轴相交于点B.若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的绝•标.【解析】和例题3—•样，过4、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q.和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然.而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的.将4(1,-4)代入y=kx-6,可得k=2.所

10、以y=2%—6,3(3,0).设OQ的长为m.分三种情况讨论直角三角形ABQ：①如图4・2,当。时，△BOQs/^qha,BO_QH~OQ~~HA解得加=1或m=3.所以0(0,—1)或(0,