《3.3.1利用导数判断函数的单调性》教学案1

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1、《3・3.1利用导数判断函数的单调性》教学案教学目标：1.了解可导幣数的单调性与其导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.教学重点：利用导数研允函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一.创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对

2、数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从屮体会导数在研允函数中的作用.二.新课讲授1.问题：如下图(1),它表示跳水运动屮高度随时间f变化的函数力(0=_4.0+6/S-的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度u随时间f变化的函数v(r)=h(z)=-9.8r+6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段吋I'可的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度力随时间/的增加而增加，即力(/)是增函数.相应地，v

3、(r)=/?(r)>0.(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度/2随时间f的增加而减少，即加/)是减函数.相应地,v(r)=/i(0<0.1.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如图，导数表示函数/（兀）在点0（），旳）处的切线的斜率.在x=x0处，（兀0）＞0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/（x）在无附近单调递增；在兀=西处，/'（兀。）＜0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/（x）在西附近单调递减.结论：两数的单调性与导数的关系在某个区间⑺

4、上）内，如果/（X）＞0,那么函数y=在这个区间内单调递增；如果f（兀）v0,那么函数y=/（X）在这个区间内单调递减.说明：（1）特别的，如果/（x）=0,那么函数y=/（X）在这个区间内是常函数.3.求解函数,y=/（x）单调区间的步骤：（1）确定函数y—f（兀）的定义域;（2）求导数y=f（x）；（3）解不等式f（兀）＞0,解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式/（X）＜0,解集在定义域内的部分为减区间.一.典例分析例1（选择题）如图3-8,设有定圆c和定点0,当I从【0开始在平面上饶

5、0均匀旋转时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时I'可/的函数，它的图象大致是图3-9屮的（）解：由于是匀速旋转，阴影部分面积S⑺开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快.图M)表示S的增速是常数，与实际不符，所以图(A)应否定；图(B)表示最后时段S增速快，也与实际不符，所以(B)应否定；图(C)表示开始时段和最后时段S的增速比中间时段快，所以也应否定；图(D)表示开始和结束阶段，S的增速慢，中间时段增速快•符合实际，所以应选(D).例2试确定函数y=x2-2x+4的单调区间.解：yf=2x-2.

6、令2x-2>0,解此不等式，得Q1.因此，已知函数在区间(1,+8)是增函数.令2¥-2<0,解此不等式，得*1.因此，已知函数在区间(-8,1)是减函数.如图.例3找出函数/(x)=x3-4x2+x-1的单调区间.解：/'(x)=3x2-8x+1.令3x2-8x+1>0,解得，兀<71或竺叵.33.•・于(无)在,4和(4+^^,+8)内是增函数令3x2-8x+1<0,购启4-V134+V13解得，

7、/(x)=2x3—6x2+72./(兀)二丄+2尤3./(x)=sinx,xw[0,2刃4.y=xlnxX22.已知函数f(x)=4x+cix2--x3(xg/?)在区间[-1,1]±是增函数，求实数。的取值范围.二.回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数〉=/(兀)单调区间(3)证明可导函数/(X)在(d,可内的单调性