《3.3.1利用导数判断函数的单调性》教学案3

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1、《3.3.1利用导数判断函数的单调性》教学案教学目标(一)知识目标：1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2)掌握利用导数判断函数单调性的步骤.(二)能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力.(三)情感、态度与价值观目标：在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般.教学重点难点教学重点：利用导数判断函数单调性.教学难点：利用导数判断函数单调性..教学过程【引例】1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：

2、，在上是减函数，在上是增函数.问：1)、为什么在上是减函数，在上是增函数？都是反映函数随自变量的变化情况.2)、研究函数的单调区间你有哪些方法？(1)观察图象的变化趋势；(函数的图象必须能画出的)(2)利用函数单调性的定义.(复习一下函数单调性的定义)2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？(1)能画出函数的图象吗？(2)能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？(产生认知冲突)【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻

3、烦，甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决.(研究的必要性)事实上用定义研究函数的单调区间也不容易.【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究.问：如何入手？(图象)从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？1、研究二次函数的图象；(1)学生自己画图研究探索.(2)提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？(3)(开口方向，对称轴)既然要寻求一个新的办法，显然要

4、换个角度分析.(4)提示：我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律？(5)学生继续探索，得出初步规律.几何画板演示，共同探究.得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系.(学生总结)：①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象.(验证)(1)观察三次函数

5、的图象；(几何画板演示)(2)观察某个函数的图象.(几何画板演示)指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系.这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性(幻灯放映课题).【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答.(幻灯放映)一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数.若在某个区间内恒有，则为常函数.这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确

6、吗？答案是肯定的.严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到.这儿我们可以直接用这个结论.小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂.结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性.下面举例说明：【例题讲解】例1：求证：在上是增函数.由学生叙述过程老师板书：因为，，所以，即，所以函数在上是增函数.注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明.学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论.例2确定函数f(x)=2x3

7、－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x，令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的导数f′(x).(3)令f′

8、(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是