《3.3.1利用导数判断函数的单调性》课件3

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1、3.3.1利用导数判断函数的单调性第三章函数的单调性与导函数正负的关系负正正新知导学2．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________；(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．递增递减函数的变化快慢与导数的关系新知导学3．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较_____，其图象比较________．快陡峭牛刀小试1．函数y＝x3＋x的单调递增

2、区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)[答案]D[解析]∵y′＝3x2＋1>0恒成立，∴函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D.[答案]C3．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增[答案]A[解析]f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．4．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)

3、＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定[答案]A[解析]∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.5．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是________．[答案](0，＋∞)[解析]∵y′＝3ax2≤0恒成立，∴a≤0.当a＝0时，y＝－1不是减函数，∴a≠0.故a的取值范围是(0，＋∞)．典例探究学案用导数求函数的单调区间(2014·三亚市一中月考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间

4、是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)[答案]D[解析]∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2，∴选D.已知函数的单调性，确定参数的取值范围解法二：(转化为不等式恒成立的问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1，4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1，4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1，4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2

5、因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.[方法规律总结]1.已知函数f(x)在某区间A上单调求参数的值或取值范围时，一般转化为在区间A上f′(x)≥0(f(x)单调递增时)或f′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解，有时也用数形结合方法求解．2．y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限

6、个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．[解析]f′(x)＝3ax2＋6x－1，由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．转化思想的应用——构造法证明不等式∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．又f(1)＝1－ln1＝1＞0，即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立，∴x－lnx＞0，即x＞lnx(x＞1)．[方法规律总结]构造函数，利用导

7、数确定函数单调性，把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题，实现了复杂问题简单化．构造法是用导数研究函数中常用到的基本方法．已知：x＞0，求证：x＞sinx.[解析]设f(x)＝x－sinx(x＞0)，f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x＞sinx(x＞0).[辨析]错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.