例谈数学概念的学习

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例谈数学概念的学习以北师大版小学数学（三年下）什么是面积为例数学概念是反映事物的空间形式和数量关系的本质属性及内在联系，它是人在感觉、知觉、观察的基础上，运用分析、比较、综合、概抓抽象而形成的。抽象化是数学概念的基本特点，数学概念通常会用i个具体的名称（名词）來概括这一类所要研究的数学对象，同时它也能反映出这一数学概念所要研究的范畴。如：“面积”。“面积”这一概念，是一个具体的数学名称（名词），它很容易使人联想起具有“血积”的这类事物，如：学生使用的教科书的上下封面的人小、前后左右侧面的大小，桌面的人小，硬币的上下面的人小和侧面的人小等等，它们虽然都具有“而积”的木质属性，有而有人小,但并不是“面积”本身。数学中“面积”一词是指所冇诸如教科书的上下封面的大小、前后左右的侧面的大小，桌面的大小，硬币的上下面的大小和侧面的大小，长、正方形所围成的平面的大小等等事物的一种抽彖，是一个总称。实际上，所谓“面积”已经不是客观存在的东西，是一种数学上的抽象，是没有厚薄，只有大小的，这才是“面积”固有的本质屈性。决定是否属于“而积”这一数学概念本质属性称其为“而积”概念的内涵，即而的大小，而具冇这一共同本质属性归在一起的每个数学对象称英为“面积”概念的外延。氏方形的面积、圆形的面积、教科书封面的人小等就是“曲积”概念的外延。在数学学科屮概念的内涵与外延必须是永恒不变的，但在实际的数学课堂教学中，山于数学概念的掌握依赖于学生的不同学习和经验，所以内涵与外延会随着学生学习的数量与质量|佃发生变化。就拿“而积”这一概念来说，不同学段的学生，如第一学段（1——3年级）和第二学段（4——6年级），“面积”所指向的学习内容是不同的，随着学生学习程度的不同，也决定了“面积”这一数学概念的外延会有所差界。学生学习和掌握数学概念，一般会经历感知、理解、表象和记忆四个心理过程。1、感知：联结理论把概念的掌握过程解释为各种特征的重亞过程，犹如用DC拍摄下来的事物在存储介质上的重叠，能够显现出图片一样。如“面积”这一概念，是在学住见到的“教材面的大小”、“黑板面的大小”、“硬币面的大小”、“桌面的大小”、“水果表面的大小”、“长、正方形围成的面的大小”等无数的具体的“面积”，逐渐通过感觉中的看、摸和知觉中的观察、想象、联想、思考，然后舍弃“凸凹不平”、“形状不一”、“质地各异”、“色彩不同”等个别特征，最终“重亞”概括抽象出“物体表而或围成平而图形的大小”这一共同特征，而形成“而积”的概念。2、理解数学概念的掌握过程无非是经历一个同化与顺应的过程。所谓同化，就是把新概念纳入到已知的认知结构屮去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念的需要。在实际的数学课堂教学中，数学概念的掌握，同化与顺应往往是不可分的。例如：当学生接触“面积”概念时，首先想到的可能是某一具体事物的面积，比如黑板面的大小，这是同化过程，进而深思，黑色长方形血的人小，对于教科书白色封面的大小來说不一•样，就要改变黑色长方形血的大小这一“血积”认识，从而去掉颜色和形状这一非本质属性，以适应教科帖白色封而大小的筋耍，从而改变对“而积”的最初认识,这就是顺应过程。对于“而积”的认识就是在这种同化和顺应不断交替的过程屮，逐渐去伪存真，舍弃那些非本质属性的个别特征，保留下“面积”固有的本质属性，从而达到理解“面积”的目的。3、表象 学住掌握数学概念是一个积极制造概念的过程，所谓积极地制造概念的过程，就是根据实际事实，在正确地感知和理解上，进行联想、抽象、推理、概括，形成表象。能否正确地对实际事实进行感知和理解，是形成表象的关键。对于北师大版小学数学三年级下第39页什么是面积这一内容，在经过大量的实际教学和深入基层学校调研的基础上，我觉得教材所安排的通过学生身边熟知的课本、硕币、衣服、树叶这些事物及长正方形来丰富学生对而积的感性认识,使学生在具体悄境屮理解面积概念做得非常好，非常有利于学生形成面积概念的正确表象，形成正迁移，而对于进行比较两个图形面积大小的实践操作，体验比较面积大小策略多样性上，则须辨证审视。（1）体验比较血积大小策略多样性，尤其是借助工貝进行比较的策略，我觉得非常好。対面积大小差别非常人的可以直接通过看比较，一看便知、一•比便知，而对于面积大小比较接近的可以借助剪拼、摆数（shti）、画数（shu）等，一拼便知、一摆便知、一画便知，当然还可以通过数（shu）数（shu）＞计算，一数（shu）便知、一算便知等多种方法。（2）在从实物到图形的过渡上，我觉得有待于值得商榷，这也许就是为什么很多学生在学习完这一部分内容总是把周长与面积进行混淆的原因吧！如果排除记忆与马虎的话，我觉得是初始的表象不够清晰所造成的。从学生的角度來说，小学生感知认识事物的特点是以无意注意整体感知为先，-•般是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究，这正如2007年3刀8口在ccrsp网络研讨上北师人教材专家张丹教授所分析的那样，学生可能是同时看到的周长与血积，而我觉得若是同时看到倒还好些，可惜的是不仅不是同时看到，而U是先看到（或只看到）周长。从教材的角度来说，首先映入学生眼帘的是正方形和长方形四边所用成的“框”——即周长,而“框”里和“框”外又都是清一色的“白”,不利于面积概念本质属性的突显,即本质属性不够突出，反差太小，不仅不会引起学生对面积本质加性的注意，还可能会帯来负面影响，形成负迁移。建议教材编写组対教材修订再版时，能否将“框”里面涂上色；再者，客观世界最常见的是各种形状的物体，“而”是附着于“体”上的，学生首先看到的是一个个物体。诸如：课木、硬币、树叶等。在整体感知“体”的基础上，来研究“面”，才利于建立“面积”的概念，所以先认识“体”后认识“而”能降低认知难度，也会有利于学牛对这部分内容的学习。这也是小学生思维特点决定的，小学生的思维具有形彖性和直观性的特点，加Z,数学中一维空间比二维空间更抽彖，二维空间比三维空间更抽彖，这也是新课程实施以來，为什么先让学牛学习立休图形，后让学住学习平面图形的原因，国外的很多教材也是这样处理的，台湾的教材，在学牛学习周长和而积之前增加了图形的边界、图形的内部和外部的储备知识。由于面积是冇边界的,所以用面积单位去密铺时就不能铺出边界；面积是二维的,密铺时就不能重叠。这样学生在学习血积时便会减少把周长和面积弄混的可能。北师人教材专家任景业教授也曾这样说过，北师大教材的整体编排也遵循了这一原则，可是在此处“什么是面积”却有悖于这一原则。建议教材编写组对教材修订再版时能有所考虑，以更加利于这套教材的使用和推广。从数学实际课堂教学的角度来说，为了引起学生的冇意注意，弥补教材的不足，可以以“体”拓“面”或制作一些教学课件，比如有的教师在实际教学时制作了如下的课件，在感知“面”时，将“血”的部分涂上色或闪动，以引起学牛的有意注意，突显“面积”的本质属性。为了和周长加以区别，在说到周长时，让四边闪动加以区分，这些做法都是可以借鉴的。4、记忆我觉得记忆相对于数学概念的掌握并不是十分重要，学牛在人量的感性认识（正确的感知和准确的理解）棊础上，只要建立起了止确的表彖，记忆并不是问题，不一定非要背下“物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积”这句话，只要能在具体情境中准确理解和应川即可。况且学牛对于面积概念屮的“封闭”一词理解起來也有怵I难，不必死记硬背，再者面积 概念中，对于数学学科中所谓的“面积”，只冇大小，没冇厚薄并未冇体现，而恰恰这会在实际应用中带来很多问题，比如一张纸，它虽然很薄，但还是有厚度（往往会被忽略），这样的许多纸叠在一起，就会因为有高度而形成“体”（其实一张纸也是一个体），会给学生造成错误认识——连“面”成“体”，不仅学生有这样的认识，在实际听课和调研中，发现有的教师也会认为连“点”成“线”、连“线”成“面”、连“面”成“体”。可见对于什么是面积的学习，理解远比记忆更重要，形成正确的表象是关键，数学概念的学习亦如此理！