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1、高等数学数学是科学的大门和钥匙.—培根(AdvancedMathematics)1函数的极限数列的极限第二节函数极限(一)第一章函数与极限--极限的概念21.数列:例：按照自然数顺序排列的一列数,简记为函数极限一、数列的极限一般式为:一般项3数列的(两种)几何表示法:整标函数或下标函数(1)数轴上一个点列.数列的极限(2)不可将这串点连成曲线.onxn····1234平面上一串分离的点.4正六边形 的周长正十二边形 的周长正边形的周长函数极限刘徽创“割圆术”，数列的变化趋势记：2.关注:例：计算圆的周长l当
2、n无限增大时， 无限趋近于l5用无限接近（极限）方法，可实现：近似精确量变质变直曲注6例3符号：函数极限当n无限增大时,不趋于一个常数(极限不存在)文字：图形：9函数极限例4符号：当n无限增大时,不趋于一个常数(极限不存在)文字：图形：10一个确定的常数A,增大时的极限，收敛于A.或称数列记为或则称常数A为数列当n无限若当n无限增大时,或称数列发散.函数极限则称数列的极限不存在，4.数列极限的定性描述11问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?当n无限增大时,无限接近于1.数列的极限5.数列极限的概念12可
3、以要多么小就多么小,则要看“无限接近”只要n充分大小到什么要求.数列的极限当n无限增大时,无限接近于1.13数列的极限14恒有收敛于a.或称数列记为或那末就称常数a是数列的极限(limit),如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).数列的极限定义15数列极限的几何意义数列的极限即16在无穷远点的极限在一点的极限二、函数的极限函数的极限171.定性定义:记作：个常数A，时的极限.函数f(x)无限趋近于一函数极限时，若在x的某种趋向下,并不无限接近一个常数则称:在x的该种趋向下极限不存在.18例:记设函数极限
4、记极限不存在记或119(1)函数极限讨论函数极限，须先明确自变量变化趋势.(2)极限存在，若否，不存在.(3)注20解显然有故不存在.例讨论极限是否存在?函数的极限21例:函数的极限解:22函数的极限左极限记作：(右)极限.2.左、右极限(单侧极限)1)定义(右)23函数的极限此性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限.2)定理充要条件是:24(1)试证函数函数的极限练习(2)试求函数≤≤25函数的极限练习26(1)试证函数证:函数的极限练习所以因为27函数的极限练习(2)试求函数≤≤解(1)因为所以28函数
5、的极限(2)因为所以29函数的极限练习解:30函数的极限练习解:311.无穷小(极限为零的变量)的无穷小量,简称无穷小.(一)定义无穷小与无穷大(绝对值无限增大的变量)2.无穷大的无穷大量,简称无穷大.三、无穷小与无穷大32(1)非无穷大，无穷小与无穷大3.说明例：无穷小量或无穷大量都是函数(变量)(2)与x的变化趋势有关无穷大量无穷小量非无穷小.零是可以作为无穷小的唯一的数.33无穷大量的倒数是无穷小量(二)性质无穷小与无穷大例：非零无穷小量的倒数是无穷大量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量2.3.1.344.证
6、：或无穷小与无穷大35有限个无穷小量的代数和及乘积仍为无穷小无穷小与无穷大(负)两个正无穷大量之和仍为正无穷大无穷大与有界量的代数和仍为无穷大6.7.5.(负)例：两个无穷大量之积仍为无穷大8.36定理1一、极限运算法则极限运算法则四、极限运算法则37(1)参加运算的是有限个函数;(3)商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算,(2)它们的极限都存在;极限运算法则注38证:无穷小与函数极限的关系极限运算法则由无穷小运算法则,得39极限运算法则(C为常数)推论1常数可以提到极限符号前推论2若limf(x)=A，
7、且n为正整数，则特殊地，有（证明略）40极限运算法则若与均存在，则A．一定存在；D.不一定存在B.一定不存在；C.存在且等于41解:例1二、求极限方法举例极限运算法则42解:例2极限运算法则43小结则有则有极限运算法则代入法44分析:例5根式转移法方法极限运算法则分子,分母的极限都是零.分子有理化解:45例6分析:无穷小因子分出法分子,分母的极限均为无穷大.方法先用去除分子分母,分出无穷小,再求极限.先将分子、分母同除以分母中x的最高次幂,无穷小分出法以分出再求极限.求有理函数当的极限时,无穷小,极限运算法则解:4
8、6小结极限运算法则练习47例7解:无穷小因子分出法分子,分母的极限均为无穷大.极限运算法则分析:48解:极限运算法则例8消去零因子法49例9解:“根式转移”法化为型分子有理化极限运算法则无穷小因子分出法50例10解:先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.使和式的项数固定,原式=不能用运算法则.方法极限运算法则分析:51例11解:原式=极限运算法则5
