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1、第三节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质返回1、自变量趋于有限值时函数的极限或定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ,使得当x满足不等式0<
2、x－x0
3、<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式，
4、f(x)－A
5、<ε那末常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作注1）语言表述当时有则一、函数极限的定义2）表示时有无极限与有无定义没有关系.3）任意给定后，才能找到，依赖于，且越小，越小.4）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.几何意义如
6、果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。例1证明(C为常数)证当时,成立,例2证明证取当时,成立,证函数在点x=1处没有定义.例3证明要使只要取当时,就有证例4当时,要使取当时,就有只要且不取负值.结论:函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限与右极限均存在且相等，即左极限和右极限当自变量x从x0的左(或右
7、)侧趋于x0时，函数f(x)有极限A，则称A为函数f(x)当x→x0时的左(右)极限，记作或例5函数当时的极限不存在.证当时的左极限而右极限因为左极限和右极限存在但不相等,所以不存在.yOx-11小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等2、自变量趋于无穷大时函数的极限定义2设函数f(x)当
8、x
9、大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式
10、x
11、>
12、X时，对应的函数值f(x)都满足不等式
13、f(x)－A
14、<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作或注1）语言表述当时有则2）的方式有两种可能：（且无限增大）当时有则（且无限增大）则当时有3）且若或不存在,则不存在.若,则不存在.如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A-ε和y=A+ε,则总存在一个正数X，使得当x<－X或x>X时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.几何意义例6证明因这个不等式相当于或由此可知,如果取那么当时,不等式成立,证毕.直线y=0是函数的图形的
15、水平渐近线.证要证当时,不等式成立.一般地说,如果,则直线y=c是函数的图形的水平渐近线.返回二、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）函数f(x)当x→x0时极限存在，则极限必唯一.定理2（函数极限的局部有界性）如果则存常数M>0和δ>0,使得当时,有
16、f(x)
17、≤M.证因为所以取则当时,有记则定理2获得证明.定理3(函数极限的局部保号性)定理3ˊ某一去心邻域，当x∈时，就有如果，那末就存在着x0的如果,而且A>0(或A<0),那么就存在常数,使得当时，有f(x)>0（或f(x)<0）.证:就A>0的情形证明.取则当时,有推论
18、:如果在x0的某一去心邻域内f(x)≥0（或f(x)≤0），而且，那么A≥0（或A≤0）定理4(函数极限与数列极限的关系)如果极限存在,为函数f(x)的定义域内任一收敛于的数列,且满足:,那么相应的函数值数列必收敛,且证设,则当时,有故对又因当时,有由假设,故当时,从而即返回
