6高一数学讲义平面向量(一)

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1、高一数学讲义（61期）第六讲平面向量（一）向量的基本概念：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.A(起点)B（终点）a2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作

2、

3、.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关

4、，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：FS-61-高一-数--6-

5、8/8长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.例1、判断：（1）平行向量的方向一定相同；（）（2）共线向量一定相等；（）（3）相等向量一定是共线向量，不相等的

6、向量一定不是共线向量；（）（4）与是两平行向量；（）（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形（）（6）四边形ABCD是平行四边形，则必有；（）（7）若，则；（）（8）若，则（）变式：下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行例2、如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.FS-61-高一-数--6-8/8向量的运算１、向量的加法：求两个向量和的运算，

7、叫做向量的加法.２、加法三角形法则（“首尾相接，首尾连”）ABC注意：首尾相接如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定a+0-=0+aABCD3、加法平行四边形法则：+探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且

8、+

9、<

10、

11、+

12、

13、；OABaaabbb（3）当与同向时，则+、、同向，且

14、+

15、=

16、

17、+

18、

19、，当与反向时，若

20、

21、>

22、

23、，则+的方向与相同，且

24、+

25、=

26、

27、-

28、

29、；若

30、

31、<

32、

33、，则+的方向与相同，且

34、+b

35、=

36、

37、-

38、

39、.4、减法的三角形法则：（1）

40、“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a.BCA注意：共起点，的方向指向被减向量任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0如果a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.如图：，，则=。FS-61-高一-数--6-8/85、向量加法的交换律：+=+向量加法的结合律：(+)+=+(+)如图：，，则(+)+=，+(+)=∴(+)+=+(+)●●

41、●ABCDEF例3、（09湖南）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．B．C．D．变式1、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h2、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，

42、F

43、=10N求F1和F2的大小.思考题：当a，b是非零向量满足什么条件时，a+b与a-b垂直？变式二：当a，b满足什么条件时，

44、a+b

45、=

46、a-b

47、？变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？FS-61-高一-数--6-8/8平面向量的基本定理

48、1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）

49、λ

50、=

51、λ

52、

53、

54、；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=