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《2017数学（理）一轮对点训练：10-5-1轨迹与轨迹方程含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、題鬆对点题必刷题1.一种作图工具如图1所示.0是滑槽力3的中点，短杆ON可绕0转动,长杆通过N处较链与ON连接，上的栓子D可沿滑槽48滑动，且DN=ON=,MN=3.当栓子Q在滑槽内作往复运动吋，带动N绕0转动一周Q不动吋，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，力3所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程；(2)设动直线/与两定直线爪x-2y=0和心x+2y=0分别交于P,0两点.若直线/总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若
2、不存在，说明理由.图1图2解⑴设点Dg,(
3、f
4、W2),Ng为)，M(x,y),依题意,MD=―>―►―>2DN,且
5、DV
6、=
7、ON
8、=1，所以(/一兀,一尹)=2(兀0一龍为)，即m2=16/c+4•①y=kx+m.”2厂。，可得戸2m1-2k"1-2k)，同理可得t-x=2x0-2t，即
9、JLt(t-2%o)=0.l);=_2为，由于当点D不动时，点N也不动，所以/不恒等于0,JC"V于是》=2xo，故帀=才，尹o=一2，代入玮+£=1，2222可得話+即所求的曲线c的方程为話+$=1・(2)(i)当直线/的斜率不存
10、在时，直线/为兀=4或兀=-4,都有=*X4X4=8.(ii)当直线/的斜率存在时，设直线/:y=kx+叭工盘，[y=kx+m,c°a由
11、22消去”可得(1+4Z?)x2+Skmx+4/w2-16=0.[x+4y=16,因为直线/总与椭圆C有且只有一个公共点，所以/=64/Cm2-4(1+4^)(4加$-16)=0,(1+2F1+2幻•由原点O到直线的距离为2/n21-4^•②将①代入②得,S、OPQ=2/n21一4斥Ml一1「当斥＞+时,V、+&XP一牝1，可得sOPQ=2尸=2向品一兀d=2m2m+_2k1+2幺I
12、2因0£/<才,贝!]0<1-4Z?W1,]_4泾22,所以qpq=8_1+当且仅当k=0时取等号.所以当丘=0时，S△OPQ的最小值为8.综合（i）（ii）可知，当直线/与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.1.如图，设椭圆京+”=1（a＞方＞0）的左、右焦点分别为鬥、F2,点Q在椭圆上，DF」F02,厶DFR的面积为咅.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在尹轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.解⑴设Fi(—c,O),F2(c,0
13、),其中c2=a2-b2.得QF2F=IMF+问吋=I，因此
14、阳=芈.所以2a=DF\+DF2=2y/2,故^=边，b2=a2-c2=1.2因此，所求椭圆的标准方程为牙+严1.(2)如图，设圆心在p轴上的圆C与椭圆y+/=1相交，Pi(xH必)，Pzg,力)是两个交点，必＞0,必＞0,FiPpF2P2是圆C的切线,且F1B丄尸2戶2・由圆和椭圆的对称性，易知x2=-X1，yl=y2,imi=2tn
15、.由⑴知厲(-1,0),F2(l,0),所以衲弋]+1,门)，F2P2=(-X!-1,再由円日丄局尸2得-(xi+l)
16、2+y?=0.由椭圆方程得1-y=(兀1+I)?，即3#+4%1=0,解得=-扌或%i=0.当兀1=0时，P],P2重合,此时题设要求的圆不存在.4当Q=时，过鬥，戶2分别与F”,尸2戶2垂直的直线的交点即为圆心C・由F}P^F2P2是圆C的切线，且尸円丄F2P2,知CP丄CA.XICPJ=CP2,故圆C的半径
17、"
18、=¥时21=伽1=华1.在平面直角坐标系兀Oy中，点M到点F(l,0)的距离比它到p轴的距离多1•记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线I过定点P(—2,l).求直线/与轨迹C恰好
19、有一个公共点、两个公共点、三个公共点时£的相应取值范围.解(1)设点M(x,尹)，依题意得
20、MF
21、=kl+b即血-1)卄=
22、x
23、+1,化简整理得y2=2(k
24、+x)・故点M的轨迹C的方程为于=4x,0，x<0.(2)在点M的轨迹C中，记Ci：/=4x,C2:y=0(x<0).依题意，可设直线/的方程为卩-1=能+2)・y-=k(x+2),-由方程组24可得炒2-4尹+4(2£+1)=0•①y=4%,(i)当"0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程，得x=
25、.故此时直线/:尹=1与轨迹C恰好有一个公共点片，1丿・(i
26、i)当仝H0时，方程①的判别式为/=—16(2泾+£-1)・②设直线/与x轴的交点为(xop),则,人2A:+1_由尹一1=k(x+2),令尹=0，得兀0=一——•③fj<0,、1(a)若
27、由②③解得-1或Qy.〔兀0<0,2(\即当kE(-&+°°J时，直线/与Ci没有公共点，与C2有一个公共点，故
