曲线与方程(含轨迹问题)(理)

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1、[理要点]一、曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做；这条曲线叫做．曲线的方程方程的曲线二、求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．三、曲线的交点设曲线C

2、1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组，则两曲线无交点．无解四、直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；Δ<0⇔直线与圆锥曲线．若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．相交相切相离[究疑点]1．由直线与圆锥曲线的位置关系知，直线与双曲线有且只有一个交点的充要条件是什

3、么？抛物线呢？2．若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程．2．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，求M的轨迹方程．3．由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，求点R的轨迹方程．[归纳领悟]1．直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法．圆锥曲线的标准方程都是由直接法求得的．当轨迹易于列出动点(x，y)满足的

4、方程时可用此法．2．求动点轨迹时应注意它的完备性．化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).2．过点(－2,0)的直线l和抛物线C：y2＝8x有且只有一个公共点，求直线l的斜率[归纳领悟]判断直线与圆锥曲线的位置关系时只需联立消元，消元后要注意方程的二次项系数是否含参数，若含参数需讨论，同时充分利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2后进行整体运算变形．[题组自测]1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A的坐标为(8,8

5、)，求线段AB的中点到准线的距离．[归纳领悟]1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，求曲线的轨迹方程是高考的一个热点题型，一般考查直接法与定义法．直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦、最值等问题是高考的重点和热点，常以解答题的形式出现

6、，难度较大．预测2012年高考的命题仍以此为热点，需加强训练．点击此图片进入“课时限时检测”