江苏省栟茶高级中学2012届高三数学考前热点专题训练(3)

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1、2012届考前热点专题训练（3）（立体几何）班级____学号_____姓名_______一、填空题1.已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是24．2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝，则棱锥O—ABCD的体积为．3.若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是_____②___.①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直．答案：①为假命题，

2、②为真命题，在③中n可以平行于β，也可以在β内，是假命题，④中，m、n也可以不互相垂直，为假命题；故答案为.4.α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列四个条件中是a⊥b的充分条件的有．①a//α，bβ；②a⊥α，b//β；③a⊥α，b⊥β；④a//α，b//β且a与α的距离等于b与β的距离．答案：③，本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法．5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．　答案：　6.已知圆锥的底面半径为R，高为

3、3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_____．答案：，将全面积表示成底面半径的函数，即可求出函数的最大值设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有，∴。∴当时，S取的最大值。故选B。7.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC重点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为答案：，倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方，再展开如图，则可得最短路程为8.已知正四棱锥中，，当该棱锥的体积最大时，它的高为_____.答案：本试题主要考察椎体的体积，

4、考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.9.设为互不重合的两个平面，为互不重合的两条直线，给出下列四个命题：①若，则；②若∥，∥，则∥③若，则④若，∥，则∥其中所有正确命题的序号是___①③___.10．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列4个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，．其中真命题的序号是②.（填上你认为正确的所有命题的序号）11．已知正六棱锥的底面边长为1，侧面积为3，则该棱锥的体积为．12．圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实

5、心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为.13．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，则它们的体积比是．14．将圆面绕直线y=1旋转一周所形成的几何体的体积与该几何体的内接正方体的体积的比值是__________.二、解答题15.在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（1）求证：PC⊥；（2）求证：CE∥平面PAB；（3）求三棱锥P－ACE的体积V．

6、解题探究：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定与性质以及三棱锥的体积计算等基础知识，考查空间相象能力与逻辑推理的能力．第（1）问为了证明PC⊥，不妨证明与所在的某一个平面垂直；第（2）问要证明直线CE∥平面PAB，有两种基本思路：一是通过面面平行得到线面平行，二是通过线线平行来证线面平行；第（2）问为了计算三棱锥P－ACE的体积，不妨计算三棱锥E－PAC的体积，体现灵活选择底面的思想方法．解析：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．取中点，连，则∵PA＝AC＝2，∴PC

7、⊥．　　　　　（1分）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，∴，∴，∴．(3分)∴．(4分)∴PC⊥．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．（7分）在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．（9分）∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面E

8、MC，∴EC∥平面PAB．（10分）证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．（7分）∵E为PD中点，∴EC∥PN．（9分）∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平