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2013辽宁省高考压轴卷数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么棱柱体体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么其中S表示棱锥底面积，h表示棱锥的高P(A·B)=P(A)·P(B)棱台的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率棱台的体积公式球的表面积公式其中分别表示棱台的上、下底面积，h表示梭台的高球的体积公式其中R表示球的半径第I卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．（1）i是虚数单位，复数(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数（4）已知正数、满足，则的最小值为（）1(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5（B）或5（C）（D）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（A）（B）（C）（D）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）(9)设集合A=若AB,则实数a,b必满足（A）（B）（C）（D）10．已知函数，则方程（）的根的个数不可能为（） 6543第II卷二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分．11．某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为．12．执行如图2所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为．图2（13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为(14)如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______。（15）【引用】已知O为△ABC的外心，，若，且32x+25y=25，则==．（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是.17.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示.下列关于的命题： ①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）已知函数，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数的达式；（Ⅱ）在△中．、、分别是角、、的对边，，，角C为锐角。且满足，求的值．19.（本小题满分14分）袋中有大小相同的个编号为、、的球，号球有个，号球有个，号球有个．从袋中依次摸出个球，已知在第一次摸出号球的前提下，再摸出一个号球的概率是．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）从袋中任意摸出个球，记得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和数学期望．20.（本小题满分14分）如图，已知为平行四边形，，，，点在上，，，与相交于．现将四边形沿折起，使点在平面上的射影恰在直线上．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求折后直线与平面所成角的余弦值． （21）（本小题满分15分）已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值．22.（本小题满分15分）设函数（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.辽宁省高考压轴卷数学(理)试题参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分（1）i是虚数单位，复数(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【答案】B【解析】本题主要考查否命题的概念，属于容易题。否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。（4）已知正数、满足，则的最小值为（）1【答案】D(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 （A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。依题意知，所以双曲线的方程为（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5（B）或5（C）（D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和.（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA==，所以A=300 （8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。(9)设集合A=若AB,则实数a,b必满足（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题。A=｛x|a-1b+2}因为AB,所以a+1b-2或a-1b+2，即a-b-3或a-b3，即|a-b|310．【引用】已知函数，则方程（）的根的个数不可能为（）6543【答案】A第II卷二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分．11．某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为．【答案】12．执行如图2所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为．【答案】图2 （13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为【答案】本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令y=0得t=-1，所以直线与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为(14)如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______。【答案】2（15）【引用】已知O为△ABC的外心，，若，且32x+25y=25，则==．【答案】10(16)（17）①②⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.解：（Ⅰ）.（4分） ∵最高点与相邻对称中心的距离为，则，即，（5分）∴，∵，∴，（6分）又过点，∴，即，∴.（7分）∵，∴，∴.（8分）（Ⅱ），由正弦定理可得，（10分）∵，∴，（12分）又，，∴，（14分）由余弦定理得，∴.（19）本题主要考查排列组合,随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括能力。满分14分。解：（1）记“第一次摸出号球”为事件，“第二次摸出号球”为事件，…2分则，………4分解得；………6分（2）随机变量的取值为，的分布列为3456…………10分所以，数学期望．………14分20.解：（Ⅰ）∵EF⊥DN，EF⊥BN，DN∩BN=N∴EF⊥面DNB ∵EF⊂平面BCEF，∴平面BDN⊥平面BCEF，∵BN=平面BDN∩平面BCEF，∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，∵D在平面BCEF上的射影在直线BC上，∴D在平面BCEF上的射影即为点B，∴BD⊥平面BCEF．…………………………6分（Ⅱ）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角． 在原图中，由已知，可得AD=3，BD=3，BN=，DN=2，DE=4 折后，由BD⊥平面BCEF，知BD⊥BN则BD2=DN2-BN2=9，即BD=3则在Rt△DEB中，有BD=3，DE=4，则BE=，故cos∠DEB= 即折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值为…………………14分（21）本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。解：（1），设过右焦点且垂直于长轴的弦为，将代入椭圆方程，解得，………2分故，可得．……4分所以，椭圆方程为．………6分（2）由题意知，直线斜率存在，故设为，则直线的方程为，直线的方程为．可得，则．………8分设，，联立方程组，消去得：，，，则．……11分设与椭圆交另一点为，，联立方程组， 消去得，，所以．……13分故．所以等于定值．……15分22、解：(Ⅰ)函数的定义域为.（2分）当时，（4分）当时，当时，无极大值.（6分）（Ⅱ）（7分）当，即时，在定义域上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得综上，当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值.，(12分),而经整理得， 由得，所以(15分)
