因式分解复习题基础

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1、8第一讲因式分解(一)　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．　　1．运用公式法　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

2、例如：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　　例1分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-

3、1yn+2-2xn-1yn+4；　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．　　解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]8　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)　　　　　=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+

4、xz-2yz)．　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2　　　　　=(a-b+c)2．　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)　　　　=(a-b+c)2　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)　　　　　=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)　　　　　=(a2-b2)(a5+b5)　　　　　=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)　　　　　=(

5、a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)　　例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．　　分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．　　解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc8　　　　　=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab

6、(a+b+c)　　　　　=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．　　说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc　　　　　　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．　　　　说明在本题的分解过程中，用

7、到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．　　2．拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例4分解因式：x3-9x+8．　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆

8、项、添项的目的与技巧．8　　解法1将常数项8拆成-1+9．　　原式=x3-9x-1+9　　　　=(x3-1)-9x+9　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)　　　　=