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1、线段的垂直平分线典型习题【基础知识精讲】一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线(又称中垂线).线段的垂直平分线是一条直线，它是到线段两端距离相等的点的集合.关于这一点需从两个方面去说明，1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.它的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.关于1的证明，利用了全等三角形，而有关2的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质.【重点难点解析】本节重点难点在于对“垂直平分线上的点是到线段两端距离相等的点的集合”这句话的两层含义的理解与掌握上.通过本节学习，要能很好的用中垂线解决问题.例1已知△A
2、BC中，AB，BＣ，ＣＡ的中垂线分别为l1,l2,l3（图3.14-1）.求证l1,l2,l3三线共点.图3.14-1分析可考虑先设l1,l2,交于点O，再设法证明O在l3上，从而达到证l1,l2,l3共点的目的.证设l1,l2交于O，连OA，OB，OC.∵l1为AB中垂线∴OA=OB,同理OB=OC∴OA=OC∴O在AC中垂线上.即O在l3上，∴，l1l2l3共点.注：该点叫三角形的“外心”-8-，它与三条中线的交点重心，三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”例2若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是()A.等腰三角形B.等
3、边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形图3.14-2分析如图3,14-2P为中垂线交点，且在AB上，连PC，则PA=PB=PC.∴∠1=∠A∠2=∠B.∠1+∠2=∠A+∠B==90°∴∠ACB=90°故选C例3如图3.14-3,△ABC中∠A=120°AB=AC,AB的中垂线交AB于D，BC于F.则=.图3.14-3分析∠A=120°AB=AC∴∠B=∠C=30°又DE为中垂线AE∴EA=EB∠EBA=∠EAB=30°∠EAC=90°∠C=30°∴AE=BE=EC∴=例4如图3.14-4，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求
4、证∠CAF=∠B.-8-图3.14-4分析本题从结论入手较困难，应从EF为AD中垂线这一条件入手，得到FA=FD，即△ADF为等腰三角形，∴∠2+∠3=∠4,而∠4为△ABD的外角，∴∠4=∠B+∠1,再由已知∠1=∠2可得结论∠3=∠B.证∵EF为AD中垂线∴AF=DF∴∠2+∠3=∠4，又∠4=∠1+∠B∴∠2+∠3=∠1+∠B∵∠1=∠2∴∠3=∠B即∠CAF=∠B.【难题巧解点拨】例1△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD(图3.14-5).图3.14-5分析由已知CD
5、为EF的中垂线，可知△CEF为等腰三角形，∴∠1=∠2.D为∠ACB平分线上一点，可利用角平分线性质，作D⊥BC于G.∠A=90°∴DA⊥AC∴AD=DG,将线段AD转移到线段DG上，又由于∠B=45°∴△BDG为等腰直角三角形∴DG=BG下面只需证明DG=GF，即可.证DG=GF，可考虑证△DGF≌△ADE.证连DE，DF，作DG⊥BC于G.∵DC为EF的中垂线∴DE=DF,CE=CF.DC⊥EF∴∠1=∠2.又∠A=90°∴DA⊥AC，DG⊥BC∴DA=DG.-8-又DG=DF∴Rt△ADE≌Rt△GDF（HL）∴GF=AE又AE=AD∴AD=DG=GF.
6、∠A=90°AB=AC∴∠B=45°在△BDG中∠B=45°∠DGB=90°∴∠BDG=45°∴DG=BG∴DG=BG=GF∴DG=BFAD=BF.例2如图3.14-6，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.图3.14-6分析本题巧妙地利用中垂线将线段、角进行转移，考虑AD⊥BC,BD＜DC.(BD=5,DC=15)，在DC上取DE=BD，利用中垂线将求AB长转化为求AE的长，再利用∠B=∠1及已知∠B=2∠C，将求AE的长巧妙地转移到求EC的长.解∵BD=5BC=20在DC上取DE=BD=5，连AE，∵AD⊥BE，BD=DE∴AD为
7、BE中垂线∴AB=AE∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C∴∠C=∠2AE=EC∴AB=EC又∵BD=DE=5BC=20∴EC=10∴AB=10【同步达纲练习】一、判断(4分×6=24分)()1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.()2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.()3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.()4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°.()5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.()6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题(5分×6=30分)-8-1
8、.到三角形三个顶点距离相等的是()A.
