中考数学专题复习练习：线段的中垂线.doc

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1、典型例题一例01．如图，已知：在中，，，BD平分交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明即可.证明：∵，（已知），∴（的两个锐角互余）又∵BD平分（已知）∴.∴（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.典型例题二例02．如图，已知：在中，，，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F.求证：.分析：由于，，可得，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得.要证，只需证，即证就可以了.证明：连结AF，∵EF垂直

2、平分AB（已知）∴（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）∴（等边对等角）∵（已知），∴（等边对等角）又∵（已知），∴（三角形内角和定理）∴∴∴（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）∴说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.典型例题三例03．如图，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF.求证：.分析：与不在同一个三角形中，又，所在的两个三角形不全等，所以欲证，不能利用等腰三角形或全

3、等三角形的性质.那么注意到EF垂直平分AD，可得，因此，又因为，，而，所以可证明.证明：∵EF垂直平分AD（已知），∴（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.∴（等边对等角）∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），，又（角平分线定义），∴说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF垂直平分AD，可以直接有结论，不必再去证明两个三角形全等.典型例题四例04．如图，已知直线和点A，点B，在直线上求作一点P，使.分析：假设P点已经作出，则由，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条

4、线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上.而点P又在直线上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线的交点.作法：1．连结AB.2．作线段AB的垂直平分线，交直线于点P.则P即为所求的点.说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.典型例题五例05．如图所示，在，，DE垂直平分AB，交AB于E，交BC于D，，求的度数.分析：由于DE垂直平分AB，所以，又为直角三角形，由直角三角形中两锐角互余

5、，即可求出的度数.解答：∵DE垂直平分AB，∴∴，在中，，∴，而，，，∴，∴，∴答：的度数为.典型例题六例06．求证：三角形两边中垂线的交点在第三边的中垂线上.分析：文字题应先根据题意画出图形，并根据图形写出已知、求证.已知：中，（如图），EF、MN分别为AB、BC边的中垂线且交于O.求证：点O在AC的中垂线上.证明：连结OA、OB、OC∵EF为AB的中垂线∴同理得：∴∴点O在AC的中垂线上典型例题七例07．如图所示，，.求证：.分析：要证，只需证直线AB是线段CD的垂直平分线即可.证明：连结CD，延长AB交CD于E.∵，∴为等

6、腰三角形，∵，∴，∴BE是等腰的角平分线，∴BE垂直平分CD（等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边），∴直线AE是线段CD的垂直平分线，又∵点A在直线AE上，∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）说明本例也可以通过证明，得出，利用线段垂直平分线的性质定理和逆定理为我们证明线段（或角）相等又提供了一个新的方法.典型例题八例08．如图所示：已知内有两点A、B，在内部找到一点D，使得D点到A、B两点的距离相等，并且点D到的两边也相等.分析：欲使点D到A、B两点的距离相等，由线段的垂直平分线的判定定理可知，点D一定在AB的垂

7、直平分线上；D点又要满足到的两边距离相等，由平分线的判定定理可知点D一定在的平分线上，综合以上两点，可以推知点D是线段AB的垂直平分线与的平分线的交点，因此可以据此找到D点.作法：（1）连结AB，作AB的垂直平分线MN.（2）作的角平分线OP，与MN相交于一点D.则D点就是满足要求的点.选择题1．选择题（1）如图，已知：，那么（）（A）CD垂直平分AB（B）AB垂直平分CD（C）CD与AB互相垂直平分（D）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（）（A）直角三角形（B）锐角三

8、角形（C）钝角三角形（D）以上都有可能参考答案：1．选择题（1）B（2）A填空题1．填空题（1）和线段两个端点距离相等的点的集合是________.（2）在中，，AD为角平分线，则有AD______BC（填或），_____.如果E为AD上的一点，那么______