中考数学专题复习练习：和圆有关的比例线段.doc

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1、例某机械传动装置在静止状态时，如图所示．连杆PB与点B运动所形成的交于点A，测量得PA=4cm，AB=5cm，⊙O半径为4.5cm．求点P到圆心O的距离．解：连结PO并延长，交⊙O于点C、D．根据切割线定理的推论，有PA·PB=PC·PD．∵PB=PA+AB=4+5=9，PC=PO-4.5，PD=PO+4.5，∴，，∴OP=．又OP为线段，取正数得OP=7.5（cm）∴点P到圆心O的距离为7.5（cm）．说明：割线定理的在计算中的简单应用．例已知：如图，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm

2、，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径．分析：由P为AB上的一点，且巳知PA、PB故联想到相交弦定理，所以需把OP向两方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之．解：向两方延长OP，分别交⊙O于C、D由相交弦定理有：BP·AP=CP·DP设CO=x，则解得：，∵CO>0，∴CO=7（cm）答：⊙O半径为7cm．说明：①相交弦定理的简单应用；②作辅助线构成基本图形．例已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆。（1）求证AC是⊙O的切线；（2

3、）若AD=6，AE=6，求DE的长。证明（1）：连结OE∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，又∵∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，∴∠4=∠3，又∵OE=OB，∴∠1=∠5，∴∠4+∠5=∠1+∠3=90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）∵AE是⊙O的切线，AE=6，AD=6，∴，∴．∴BD=AB-AD=12-6=6∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，∴△AED∽△ABE，∴设DE=，BE=2x，∵，∴，得（负的舍去），∴．说明：①此题主要应用：切线的判定定理，切割线定理、相似

4、形以及勾股定理以及相似形；此题是与切割线定理有关的计算综合问题．例如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD并延长交⊙O于E，已知：．求证：（1）PA=PD；（2）．分析：（1）易证∠PAD=∠PDA；（2）关键在于利用线段之间的关系、等式性质，证出PB=BD．证明：(1)连结AB在△DBE和△BAE中，∵，即，又∠BED=∠AEB，∴△DBE∽△BAE∴∠2=∠3∵PA切⊙O于A，∴∠1=∠E又∠PAD=∠1+∠2，∠PDA=∠3+∠E．∴∠PAD=∠PDA，∴PA=

5、PD．(2)由切割线定理知，，又PA=PD，PD=DC，∴，∴PB=BD．又(相交弦定理)，DC=2PB，BD=PB，∴．说明：本题应用的知识点有：切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形，利用等式性质证明线段的中点．典型例题五例（北京市宣武区，2002）已知：CF是⊙O直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P.（1）如图所示，若，求⊙O半径的长；（2）如图所示，若E为BC上一点，且满足，连结FE并延长交⊙O于点A，求证：点A为的中点.分析：证明，可以有两种证法：一可以证明，

6、由垂径定理即可证明结论，二可证明，由圆周角定理结论可证．解：（1）∵CF是⊙O直径，PF切⊙O于点F，∴.又∴⊙O的半径的长为5.（2）证法一：连结OA.∵PF为⊙O切线，PBC为⊙O割线，∴.又∵，∴.∴.又∵，∴点A为中点.证法二：连结FB.同证法一可得，∴∵PF切⊙O于点F，∴，又，，∴，∴，即点A为中点.典型例题六例（北京市崇文区，2002）已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连结CE并延长CE交⊙O于点F，连结AF.1．求证：∽；2

7、．若，求⊙O半径的长.证明：1．∵PA切⊙O于点A，∴∵O在AE上，∴∵于D，∴∽∴∽.2．∵∽，作于G，则，∴在Rt中，∴⊙O的半径长为.说明：这是一道综合性较强的几何题，对于几何题目难点是作辅助线。典型例题七例如图，内接于⊙，为⊙外一点，作，使交⊙于、两点，并与、分别交于点、.（1）求证：；（2）若，求证：是⊙的切线.分析：（1）由相交弦定理，因此待证式（1）可化为，即，这只需证明∽；（2）连，则是⊙的切线条件是，这只需证明.证明（1）由相交弦定理，得在与中，，∽，，即故（2）过作⊙的直径，连结，

8、则，，故是⊙的切线.说明：本题涉及知识点全面，体现了常用的证题方法，是一道优秀的选题.典型例题八例已知如图，点是⊙外一点，过作⊙的切线和，切点分别为、，连并延长交⊙于点，交的延长线于，若，且，求的值.分析：由切割线定理得：，而，因此有，且，再由比例线段，找出与之间的关系即可.解连结、，为⊙的切线，，、为⊙的切线，在中，，为⊙的切线，为半径，同理，，为公共角，∽，，有又，说明：题中有从圆外引圆的两条切线时，常把圆心与这点连结起来利用切线长定理证题.典型例题