中考数学专题复习练习：平行线等分线段定理.doc

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1、例01．如图，在中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N.求证：证明：过点D作，交AC于E.∵D为BC中点，∴.∵M为AD中点，，∴.∴，即说明：本题考查平行线等分线段定理的推论，解题关键是过中点D作BN的平行线DE交AC于E，证出E是NC的中点.例02．如图，已知：在梯形ABCD中，，，交DC于F，AF、BC延长线交于点G.求证：.分析：因为，所以为了证明只需证明就可以了.那么由很容易得到这点.证明∵（已知），∴（如果两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行）又∵（已知）∴（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）（经过梯形一腰的中点与底平行的直

2、线，必平分另一腰）又∵，∴∴∴例03．如图，已知：在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连结BE、DF交AC于G、H两点.求证：.分析：图中E、F是线段的中点，而求证中，G应该为AH中点，而H应该是CG的中点，因此，我们分析后判断，可能与平行线等分线段定理有一定联系.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴且又∵E、F分别为AD、BC中点，∴，且∴四边形BFDE是平行四边形.∴.∵，∴（经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边）同理，∵，∴.∴说明无论平行线出现三条、四条或更多条，截得的线段如果相等，在另一条直线上截得的各条线段也相等，两条平行线的出现往往关系到推论.例04．如图

3、，已知：在梯形ABCD中，，，E为AB的中点.求证：.分析：要证，实际上只要证E点在CD的垂直平分线上，故过E点作，因为，所以.由E为AB的中点.根据平行线等分线段定理的推论可证出F是CD的中点.EF是线段CD的垂直平分线，从而有.证明：过点E作，垂足为F，∵，∴∵E为梯形ABCD的腰AB的中点，∴EF平分CD.∴EF是CD的垂直平分线.∴例05．如图，，M是DC的中点.求证：.证法1作于N.∵，∴∵,∴.∴MN垂直平分AB，故证法2如图，延长BM交AD于P.∵，∴.∴∵，∴.∴∴AM是斜边PB的中线.∴.说明证法1是运用平分线等分线段定理证明的，证法2则是用补全基本图形的方法运用直角三

4、角形斜边中线等于斜边一半证明的.例06．如图，梯形ABCD中，，，，，E为AB的中点.求证：为等边三角形.证明过点E作.∵，∴∵E为AB的中点，∴F为CD的中点.∵，，∴∴∵，∴为等边三角形.∴∵E为AB的中点，∴∴∴∵，∴为等边三角形.说明本题综合考查了平行线等分线段定理的推论及等边三角形的判定与性质，解题关键是作辅助线.例07．如图，有一块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农户耕地.已知张、王、李三家人口分别为2人，4人，6人，菜地分配方法要按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB.P点处是三家合用的肥料仓库，所以P点必须是三家地的交界处.已知的，米，.（1）计算出每家应分

5、配的菜地面积；（2）用尺规在图中作出各家菜地的分界线（保留痕迹，不写作法，标出户名）.解答：（1）在中，∵，∴.∴（米）∴（米）（米）∵∴（）（）（）（2）运用平行线等分线段的方法作出图形如图.说明：本题考查了平行线等分线段定理的应用，解题的易错点是忽视运用的直角三角形的性质，关键是运用平行线等分线段定理的作图.选择题1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）2．如图，在线段AB上取一点C，使.作法正确的是（）3．（福州市，2001）下列四个命题中错误的是（）A．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．菱形的一条对角线平分一组对角C．顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边

6、形D．等腰梯形的两条对角线相等4．（北京市朝阳区，2001）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，，且，，则（）A．9B．10C．11D．126．AD是锐角的高，，M，N在AB上，且，于E，于F，则（）A．B．C．D．7．（哈尔滨市，2001）直角三角形的两条直角边长分别为和，则连结这两条直角边中点线段的长为（）A．3B．4C．5D．128．（绍兴市，2001）如图，中，D、E分别是边BC、AC的中点，若，则AB等于（）A．B．6C．9D．9．等腰的底边BC是周长的，自底边上任意一点P引平行于两腰的直线，分别交两腰于E，F，则四边形

7、AEPF的周长与的周长之比为（）A．B．C．D．参考答案：1．C2．D3．A4．A5．A6．A7．C8．B9．C填空题1．如图，，，则_____＝___＝_____，______＝______.2．如图，已知，AF，BE交于O，若，，则_______.3．（北京市西城区，2001）以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______.4．（厦门市，2001）如图，梯形ABCD中，，且，梯形ABCD的面积是，点M、N分别是