4.10 平行线等分线段定理

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1、精华名师辅导教学内容：平行线等分线段定理【基础知识精讲】本节内容是平行线等分线段定理及其两个推论，两个推论实际上是定理的特例，也是重要的定理.1.平行线等分线段定理.一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.定理的证明：借助梯形常见的辅助线，把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形，三角形的相关知识进行证明(见教材P180页的证明过程).定理的变式图形：(图4.10-1)2.平行线等分线段两个定理推论推论1经过梯形一腰中点的直线必平分另一腰推论2经过三角形一边中点且与另一边平行的直线平分第三边3.定理及推论的应用任意等分线段通过中点的证明，从而转换

2、为梯形或三角形的中位线进行解题，同时作为三角形、梯形中位线定理证明的根据.【重点难点解析】重点：平行线等分线段定理及推论难点：平行线等分线段定理的证明及变式图形的理解例1已知线段AB，求作AB的五等分点.分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等分了.作法：(1)如图4.10-2作射线AM；(2)在射线AM上截取AA1＝A1A2＝A2A2＝A3A4＝A4A5(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行

3、线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.例2如图4.10-3，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE∥AB交BC于E，AD＝12，求BE的长.分析：本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力.解：∵ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BC＝AD∵AB∥DC，OE∥AB∴DC∥OE∥AB又∵AD＝12∴BE＝EC＝BC＝AD＝6例3求证：直角梯形斜腰中点到直角腰两端点的距离相等.已知：如图4.10-4，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，DE＝EC.求证EA＝EB分析要证EA＝EB，实际上只要证

4、E在AB的垂直平分线上.故过E作EM∥BC.由∠ABC＝90°，得∠AME＝90°.再由平行线等分线段定理的推论可知AM＝MB.这样点E在AB的垂直平分线上.问题得证.证明：作EM⊥BC，交AB于M.∵AB⊥BC，∴∠AME＝∠ABC＝90°在梯形ABCD中∵DE＝EC，EM∥BC，∴AM＝MB∴E在AB的垂直平分线上∴EA＝EB【难题巧解点拨】例1如图4.10-6，已知△ABC，求作BC上两点D、E，使S△ADB＝S△ADE＝S△AEC分析根据等底同高的几个三角形面积相等只需在BC上取三等分点D、E，将等积问题转换为等分线段问题.作法：(1)作射线BN(2)在BN上以任意长顺次

5、截取BF＝ＦＧ＝GH(3)连结CH(4)过G、F点分别作CH的平行线GE、FD，分别交BC于E、D则：D、E为BC的两个三等分点(5)连AD、AE，得△ABD、△ADE、△AEC证明：略注意点：线段的等分点只能运用等分线段定理采用尺规作图，不能用刻度尺来等分线段.例2如果把矩形ABCD线对折，设折痕为GH，再把点A叠在折痕线，折痕为BE，得Rt△ABE，交折痕GH于P，延长EA交BC于F，则△BEF为等边三角形(图4.10-7)证明：∵G、H为矩形A′BCD的边A′B、CD的中点∴四边形AGHD、GBCH为矩形A′D∥GH∥BC∴P、A分别为BE、EF的中点∵Rt△A′BE≌△R

6、t△ABE∴∠A′＝∠EAB＝90°∠A′EB＝∠BEF∴PA＝PE＝BFBA为EF的垂直平分线∴∠BEF＝∠PAEBE＝BF∵GH∥A′D∵∠PAE＝∠DEF∴∠A′EB＝∠BEF＝∠DEF∵∠A′EB+∠BEF+∠DEF＝180°∴∠BEF＝60°∵BE＝BF∴△BEF为正三角形【命题趋势分析】本节中考热点为平行线等分线段定理的运用.【典型热点考题】例1如图4.10-5，△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，求证AF＝CF.分析本题查考平行线等分线段及推论的应用能力.过D点作DG∥BF交AC于G是常规辅助线、通过它可将要求的问题转换成平行线

7、等分线段定理及推论的运用.证明：过D作DG∥BF交AC于G∵EF∥DG，AE＝DE∴AF＝FG又∵BF∥DGBD＝DC∴FG＝GC∴AF＝FG＝GC即：AF＝CF【同步达纲练习】一、填空题1.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，若DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是.2.在梯形ABCD中，AD∥BC，E为DC中点，EF∥AD交AB于F，则S△AEF∶S△BEF＝.3.如果一组平行线，在一条线段上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也.4.在△