2013版高二数学(人教B版)选修2-1同步练习2-2-3椭圆习题课

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1、2.2.3椭圆习题课一、选择题1．已知椭圆的焦点是F1，F2是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线[答案]A[解析]∵PF1＋PF2＝2a，PQ＝PF2，∴PF1＋PF2＝PF1＋PQ＝2a，即F1Q＝2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A.2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1][答案]A[解析]椭圆方程化为＋＝1

2、.焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴0b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝，则

3、△PQF面积的最大值是()A.abB．abC．acD．bc[答案]D[解析]设它的另一个焦点为F′，则F′O＝FO，PO＝QO，FPF′Q为平行四边形．S△PQF＝SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.即(S△PQF)max＝bc.5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1是PF2的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A[解析]不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即PF2＝，由椭圆

4、定义知PF1＋PF2＝2a＝4，PF1＝，PF2＝，即PF1＝7PF2.6．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.∪B.C.D.[答案]C[解析]将方程变形为：＋＝1.∴，∴sinα>－cosα>0.∴α在第二象限且sinα>cosα.7．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A.B．3C.D.[答案]D[解析]a2＝16，b2＝9⇒c2＝7⇒c＝.∵△PF1F2为直角三角

5、形．∴P是横坐标为±的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)设P(±，y)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1⇒y2＝⇒y＝.8．(2009·江西)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.[答案]B[解析]考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，∴PF1＝∴PF2＝，故PF1＋PF2＝＝2a，即3b2＝2a2又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，∴()2＝，即e＝.9．(2009·山

6、东威海)椭圆＋＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{PnF}是公差大于的等差数列，则n的最大值是()A．2000B．2006C．2007D．2008[答案]A[解析]∵椭圆＋＝1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{PnF}的公差d大于，不妨P1F＝1，PnF＝3,3＝1＋(n－1)·d，∴d＝>，n－1<2000，即n<2001.∴故选A.10．已知点(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是()A．

7、x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y－4＝0D．x＋2y－8＝0[答案]D[解析]设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2),中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”得＝－，即·＝－，∴k＝＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.二、填空题11．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则椭圆的方程是________________．[答案]＋＝1[解析]由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．∵PF1＋PF2＝

8、2F1F2，∴2a＝4.∴a＝2，又c＝1，∴b2＝3，∴方程为＋＝1.12．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1－PF2＝1，则cos∠F1PF2＝____________.[答案][解析]∵PF1＋PF2＝4，又PF1－PF2＝1，∴PF1＝，PF2＝，F1F2＝2，∴cos∠F1PF2＝