高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-2-2椭圆的几何性质.doc

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1、2.2.2椭圆的几何性质一、选择题1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　B[解析]　本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝或e＝－1(舍)，故选B.2．已知椭圆C：＋＝1与椭圆＋＝1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是(　　)A.＋＝m2(m≠0)B.＋

2、＝1C.＋＝1D．以上都不可能[答案]　A[解析]　椭圆＋＝1中，a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，即a＝2，c＝2，离心率e＝＝.容易求出B，C项中的离心率均不为此值，A项中，m≠0，所以m2>0，有＋＝1，所以a2＝8m2，b2＝4m2.所以a＝2

3、m

4、，c＝2

5、m

6、，即e＝＝.3．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有(　　)A．相等的短轴长　　　　B．相等的焦距C．相等的离心率D．相同的长轴长[答案]　C[解析]　把C1的方程化为标准方程，即C1：＋＝1，从

7、而得C2：＋y2＝1.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．e1＝，e2＝＝e1＝，故离心率相等，选C.4．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　由△ABF1为等边三角形，∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2，∴e＝＝＝＝.5．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于(　　)A．60°　　　B．75°　　　C．90°　　　D．120°[答

8、案]　C[解析]　cos∠ABF＝＝＝＝＝0，∴∠ABF＝90°，选C.6．椭圆＋＝1(m－m>0，故焦点在x轴上，所以c＝＝，故焦点坐标为(，0)，(－，0)，故选B.7．(2010·福建文，11)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2B．3C．6D．8[答案]　C[解析]　本题主要考查椭圆和向量等知识．由题易

9、知F(－1,0)，设P(x，y)，其－2≤x≤2，则·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2当x＝2时，(·)max＝6.8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e为(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　由题意知a＝2c，所以e＝＝.9．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置(　　)A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2

10、外D．以上三种情形都有可能[答案]　A[解析]　由e＝知＝，a＝2c.由a2＝b2＋c2得b＝c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋cx－c＝0，即2x2＋x－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝<2.10．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　A[解析]　如图，△ABF2为正三角形，∴

11、AF2

12、＝2

13、AF1

14、，

15、AF2

16、＋

17、AF1

18、＝2a，

19、AF1

20、＝

21、F1F2

22、

23、.∴

24、AF1

25、＝a，又

26、F1F2

27、＝2c，∴＝.∴＝.故选A.二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径的圆过点P过P作圆的两切线又互相垂直，则离心率e＝________.[答案]　[解析]　如图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.12．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．[答案]　[解析]　易知直线AB的方程为y＝2(x－1)，与椭圆方程联

28、立解得A(0，－2)，B，故S△ABC＝S△AOF＋S△BOF＝×1×2＋×1×＝.13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A