高二数学(人教b版)选修2-1全册同步练习：2-3-2双曲线的几何性质

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1、2.3.2双曲线的几何性质一、选择题1．(2009·宁夏、海南)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．2B．2C.D．1[答案]　A[解析]　本题主要考查双曲线的几何性质．由双曲线－＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为x±y＝0，∴焦点到渐近线的距离d＝＝2.2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案]　B[解析]　顶点为(0,2)，∴a＝2且焦点在y轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，∴有4＋2b＝·2c，且4＋b2＝c2，解得b＝2.3．已知

2、双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．(1，)B．(1，)∪(，＋∞)C．(，＋∞)D．[，＋∞)[答案]　C[解析]　用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率>2时，才能保证y＝2x与双曲线有公共点，∴>4，即>5.∴>.4．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(1,2)[答案]　A[解析]　方程化为：－＝1，∴∴k>2.又c＝＝>1，故选A.5．(2009·四川)已知双曲线－＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方

3、程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝(　　)A．－12B．－2C．0D．4[答案]　C[解析]　本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C.6．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　)A．x＝±yB．y＝±xC．x＝±yD．y＝±x[答案]　D[解析]　由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点(，0)，双曲线焦点(，0)．∴3m2－5n2＝2m2＋3n2.∴m2＝8n2

4、.又∵双曲线渐近线为y＝±·x，∴代入m2＝8n2，

5、m

6、＝2

7、n

8、，得y＝±x.7．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(　　)A.　　　B．2　　　C.　　　D．2[答案]　A[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又两渐近线互相垂直，所以a＝b，c＝＝a，e＝＝.8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且

9、PF1

10、＝4

11、PF2

12、，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)A.B.C．2D.[答案]　B[解析]　由题意

13、PF1

14、－

15、PF2

16、＝2a，即3

17、PF2

18、＝2a，∴

19、PF2

20、＝a，设P(x

21、0，y)，则x0>0，∴a＝ex0－a，∴e＝.∵

22、x0

23、≥a，∴≤1.∴e＝·≤.故选B.9．(2010·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足

24、PF2

25、＝

26、F1F2

27、，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为(　　)A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0[答案]　C[解析]　如图：由条件

28、F2A

29、＝2a，

30、F1F2

31、＝2c又知

32、PF2

33、＝

34、F1F2

35、，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有

36、PF1

37、＝4b由双曲线定义：

38、PF1

39、－

40、PF2

41、＝

42、2a，则4b－2c＝2a∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b23b2＝4ab，∴＝，∴渐近线方程：y＝±x.故选C.10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案]　D[解析]　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意c＝，∴方程可化为－＝1，由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.∵＝－，∴＝－，解得a2＝

43、2.故所求双曲线方程为－＝1.二、填空题11．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________．[答案]　－＝1[解析]　∵双曲线的两渐近线互相垂直，∴双曲线为等轴双曲线，又c2＝5，∴a2＝b2＝.12．(2008·安徽)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.[答案]　4[解析]　①若焦点在x轴上，a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝＝＝，∴n＝4.②若焦点在y轴上，a2＝n－12，b2＝－n，∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.13．已知点F、A分