.. 双曲线的几何性质 教案（人教b版选修-）

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1、2.2.2双曲线的几何性质【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能理解双曲线的几何性质，能够根据这些几何性质解决一些简单问题，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。（2）过程与方法通过类比椭圆的几何性质获得双曲线的几何性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的方法。（3）情感、态度与价值观通过本节课的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。（二）教学重点双曲线的几何性质及其初步运用。（三）教学难点双曲线的渐近线、离心率的应用。（四）教学建议本节课主要通过数形结合，运用现代化多媒体教学手段，通过观

2、察、分析、归纳出椭圆的几何性质。教学过程中，可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，自我解决问题，鼓励学生合作交流、思考探索。【教学过程】(一)复习提问（引入新课）：1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格思考：1、从双曲线的图形上，还能看出什么范围？（由双曲线方程－=1（a＞0，b＞0）得到－＞0，（-）(+)>0,这样或，对应区域为）思考2：关于x轴、y轴、原点对称的方程如何用式子表示？

3、（一般的曲线C:f(x,y)=0也成立,即：对任意x,y，f(-x,y)=0则曲线C关于y轴对称；f(x,-y)=0则曲线C关于x轴对称;f(-x,-y)=0则曲线C关于原点对称，用之常检验曲线的对称性）(三)渐近线：双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。双曲线在第一象限的部分可写成：设M(x,y)是其上面的点，N(x,yN)是直线y=上与M相同的横坐标的点MN=yN-y=-=；当x逐渐增大时，MN逐渐减小，x无限增大，MN接近于零，就是说，双曲线

4、在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．这样，我们将称双曲线的渐近线。由渐进线可以大致作出双曲线的图形。特别的，当a=b时的双曲线称等轴双曲线。思考：等轴双曲线的渐近线是什么？（y=±x）(四)离心率:与椭圆类似，将双曲线焦距与实轴的比值称此双曲线的离心率，e=思考：椭圆的离心率反应椭圆的扁圆程度，双曲线离心率反应什么呢？（由于==，这样e越大，就越大双曲线的开口就越开阔．所以离心率反应了双曲线的开阔程度）思考：双曲线=1（a>0,b>0）有哪些基本性质？例题讲解例1已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，如果焦距为8，

5、实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程，并画出它的图形。解：（略）例2求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程..由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3..焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.离心率.渐近线方程为，即.课堂练习：教材P54练习A1、2、3题[小结]双曲线的基本性质，与椭圆不同的是加了渐近线[作业]教材P55---习题2-2A1，2，3，4题[补充习题]1、经过双曲线上任一点，作平行于实轴的直线，与渐近线交于两点，则___________；作平行于虚轴的直线，与渐近线交于

6、两点，则到的距离之积为定值，。2、求证：由双曲线的一个焦点向一渐近线作垂线，垂线段长为定值，等于，并求垂足的横坐标。[答案]1、a2,b22、证明：如图2，设焦点，渐近线，即，xoyF图2由点到直线的距离公式得：；又过点且与渐近线垂直的直线方程为:，两方程联立解得交点坐标为，显然该点的横坐标。●板书设计●授后记