高数综合练习题一

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1、高等数学综合练习题(一)1、（总习题八）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格中。（1）函数在点可微是函数在点连续且可导的充分条件。函数在点连续是函数在点可微的必要条件。（2）在点的偏导数存在是在该点可微分的必要条件。（3）的偏导数在点存在且连续是在该点可微分的充分条件。（4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充分条件。2、设函数在点处存在对的偏导数，则（B）(A)(B)(C)(D)3、曲线上相应于的点处的切线方程是[A](A)(B)(C)(D)4、求

2、曲线在对应于处的切线方程.解：当时，对应曲线上的点是，，所以切线方程为：5、求曲面在点处的切平面和法线方程.解：，，所以切平面方程是：即：法线方程为6、求曲线，在点处的切线方程。解：时则切线方程为7、曲线在点（0，1，1）处的一个切向量与轴正向夹角为锐角，则此向量与轴正向的夹角是8、求下列函数的全微分（1）.;解：（2）.;解：（3）.（）.解：两端分别对求导所以（4）解：（5）解:（6）解：9、设，而，；求.解：10、设，而，；求.解：11、设，求。解：对两端对分别求导得-----------①-----------

3、②对两端对分别求导得-------------③------------④①②联立求得③④联立求得带入12、求下列函数的一阶偏导数（1）;解：（2）;解：（3）解：（4）解：13、设，求，。设，,则。根据对称性14、设具有连续的二阶偏导数，求.解：15、方程组确定隐函数，求解：由方程组解得16、函数是由方程确定，求解：17、求函数的极值。解：，令解得驻点，。计算（1）判定驻点是否为极值点。因为，所以不是驻点同理判定为驻点又因为，所以是极大点。其极值为18、在曲面上求一点，使它到平面的距离最短解：设曲面上点到平面距离为d

4、，则且即利用拉格朗日乘数法令得唯一解由实际问题知最小值存在，即为点19、要造一个容积为的长方体有盖箱子，问选择怎样的尺寸才能使所用材料最少？（是常数）解一（化为无条件极值）设箱子的长、宽、高分别为，则表面积为（1）容量为（2）从（2）中解出代回（1）中转化为求函数的极值解二（用拉格朗日乘数法解）：设箱子的长、宽、高分别为，则表面积为容量为设拉格朗日函数为解得代入式（4）中，得。20、积分区域，则二重积分化成先对后对的二次积分是21、交换下列二次积分的次序：（1）（2）（3）（4）（5）22、计算其中是由，，围成。解：2

5、3、利用极坐标求解解：24、计算，其中是圆环区域：（）；解：令25、计算，其中是由圆周、及直线、所围成的在第一象限的闭区域；解：26、计算，其中是由所围成的闭区域。解：27、（书例题）计算，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域。解:在极坐标中，闭区域可以表示为88、设，则=解：29、计算解：30、计算下列三重积分：（1），其中：；（2），其中由不等式、所确定.解：（3），其中由曲面、围成的闭区域解：31、用二重积分求由曲线所围成的平面图形的面积。解：32、计算由曲面，，，，所围成的立体的体积。解一：根据二重积

6、分的几何意义所求体积为其中为在坐标平面上，由所围成。解二：利用三重积分