高数a下综合练习一

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1、综合练习401解答一.简答题221.函数zxy在1,1处沿什么方向有最大增长率?增长率是多少?解.gradz1,12,2xy2,2,故沿2,2方向有最大增长率,1,1最大值为2,222.xz2.设Fxyz,,z1lnye1,为什么方程Fxyz,,0在1,1,0的某邻域内可确定一个可微的二元函数zzxy,?解.因为(1)Fxyz,,在1,1,0的邻域内有连续偏导数,(2)F1,1,00,xz(3)F1,1,0lnyxe10.z1,1,0233.求曲线xt

2、1,yt1,zt在0,2,1处的切线方程.2解.点0,2,1对应参数t1,故T2,1,3tt2,1,3,切线方程为0,2,1t1xy2z1.21322xy354.设D:1a0,b0,求Iaxbycdxdy.22abD解.Icdxdycababc.Dn2n5.求幂级数2x的收敛域.n0n1na1n111解.lim2R,又x时,级数为2收敛,故na22n0n1n11收敛域为,.221xe1,x0a06.设

3、fxx的傅里叶系数为aab0,n,n,求an.e1,0x2n1解.a0af01f0f0021.2n22n1二.解答题2sinx1.求Idydx.xyxsinx解.Idxdysinxdx2.x0022xy2.求Ixydxyxdy,其中L是上半椭圆1,逆时针方向.22abLaQP解.IPdxQdyPdxdxdyx0dxxyLABABDa12dxdy0

4、2abab.2D2zy3.设为L:0z2绕z轴旋转而成曲面的外侧,求(1)的方程x02和上任意点处的正法向量;(2)I41ydzdx8y1zdxdy.22解.(1):zxy0z2,n2,2,1xy;z2(2)取:上侧,则I122xy2112div0,41y,8y1zdv8y12dxdydv2dxdyx2y22x2y2222dzdxdy4zdz4242

5、.0x2y2z02224.设是由曲面zlnxy与平面z0,z1围成的立体,求的体积和表面积.1122ze1解.Vdzdxdyedz;0x2y2e2z02xy221由zx22,zy22,dS1zxzdxdyy122dxdy,故xyxyxy2e11的侧面积A1dxdyd1d12221x2y2e2xy01221e1e2eee2u1u11tdu,令t,则Atd2dt122uut1t21122e1e222e1e2

6、ln,而AeA.112x5.将fx0x展开为正弦级数.222211解.bnfxsinnxdxsinnxdx,故fxsinnx,002nn1nx0,.222xyz6.在第一卦限内作曲面1的切平面,使其与三个坐标面所围222abc四面体的体积最小,求切点坐标及最小体积.222xyz解.设Pxyz,,为所求切点,令Fxyz,,1,则000222abc2x2y2z000F,F,F,过P的切平面方程为xPa2yPb2zPc23xyzxxyyzz0

7、000002xx02yy02zz00,即2221,截距abcabc222222abc1abc分别为x,y,z,故四面体Vxyz,令xyz66xyz000000222xyz000ulnxlnylnz,Llnxlnylnz1,由000000222abc12x0L0x02xa012y0L0y02y0babc3,解得x0,y0,z0,故Vminabc.12z03332L0z02zc0222x0y0z010222abc4