2017二模解答题分类汇编----导数与函数（教师版）

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1、2017二模解答题题分类汇编----导数与函数（教师版）：（西城）1.（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的零点个数；（Ⅱ）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，得．[2分]令，得，或．所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，．[4分]（Ⅱ）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，所以，函数无极值．[5分]②当时，，的变化情况如下表：↘极小值↗极大值↘所以，时，的极小值为．[7分]又时，，所以，当时，恒成立．[8分]所以，为的最小值．[9分]故是函数存在最小值的充分条件．[10分]③当时，，的变化情况如下表：↘极小值

2、↗极大值↘因为当时，，又，所以，当时，函数也存在最小值．[12分]所以，不是函数存在最小值的必要条件．综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件．[13分]（顺义）2.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当实数时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）当时，，∴，∴曲线在点处的切线方程为-----------------------------4分（Ⅱ）∵，∴---------------------------------5分①当时，，则函数在的单调递增区间为；---------------------------

3、--------6分②当时，令，得，解得.---------------------7分则当变化时，的变化情况如下表：------------------------------9分所以,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.------------------------------10分（Ⅲ）当时，，直线与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程（*）在上没有实数解.①当时，方程（*）化为，显然在上没有实数解.--------------------------------12分②当时，方程（*）化为，令，则有.令，得，则当变化时，的变化情况如下表：当时，，同时

4、当趋于时，趋于，从而的值域为．-----------------------------------13分所以当时，方程（*）无实数解，解得实数的取值范围是．综合①②可知实数的取值范围是.----------------------------14分（海淀）3.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）当时，求证：存在实数使.（丰台）4.（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于，在区间上有极小值，且极小值大于0.（本小题共13分）解：（Ⅰ）的定义域为，…………………1分因为，所以，所以.…………………2分因为，，

5、…………………3分所以曲线在点处的切线方程为.…………………4分（Ⅱ）因为,所以在区间上是单调递增函数.…………………5分因为，，…………………6分所以,使得.…………………7分所以，；，，…………………8分故在上单调递减，在上单调递增，…………………9分所以有极小值.…………………10分因为,所以.…………………11分设，，则，………………12分所以，即在上单调递减，所以，即，所以函数的极小值大于0．………………13分（东城）5.（本小题共13分）设函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围．（本小题共13分）设函数．（Ⅰ）当时，求曲线在

6、点处的切线方程；（Ⅱ）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围．（朝阳）6.（本小题满分14分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．（本小题满分14分）解：（Ⅰ），则.令得，所以在上单调递增.令得，所以在上单调递减.…………4分（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.依题意，，.于是与抛物线切于点，由得.所以…………8分（Ⅲ）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.①若，则当时满足条件，此时；②若，取且此时，所以不恒成立．不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.

7、要使得“恒成立”，必须有“当时，”成立.所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时，从而，当时，的最大值为.综上，的最大值为.…………14分