函数与导数解答题(教师版)

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1、戴氏高考中考学校高三数学总复习函数与导数解答题蔡老师函数与导数解答题（2011高考题）1.（安徽理16）设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对求导得①（I）当，若综合①,可知+0－0+↗极大值↘极小值↗所以,是极小值点,是极大值点.（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知2.（北京理18）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，，都有，求的取

2、值范围。解：(1)，令得22戴氏高考中考学校高三数学总复习函数与导数解答题蔡老师当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增(2)当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。3.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(Ⅰ)因为时，所以；(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品

3、每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.4.（广东理21）22戴氏高考中考学校高三数学总复习函数与导数解答题蔡老师（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；解：（１），直线AB的方程为，即，，方程的判别式，两根或，，，又，，得，．（２）由知点在抛物线L的下方，①当时，作图可知，若，则，得；22戴氏高考中考学校高三数学总复习函数与导数解答题蔡老师若，显然有点；．②当时，点在第二象限，作图可

4、知，若，则，且；若，显然有点；．根据曲线的对称性可知，当时，，综上所述，（*）；由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，同理点M在直线上，方程的两根或，若，则不比、、小，，又，；又由（１）知，；，综合（*）式，得证．（３）联立，得交点，可知，过点作抛物线L的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，22戴氏高考中考学校高三数学总复习函数与导数解答题蔡老师，设，，，又，；，，．5.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此

5、时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得故函数的表达式为=（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，，当且仅当，即时，等号成立．22戴氏高考中考学校高三数学总复习函数与导数

6、解答题蔡老师所以，当时，在区间上取得最大值．综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．6.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；（Ⅱ）设…，均为正数，证明：（1）若……，则；（2）若…=1，则…+。解：（Ⅰ）的定义域为，令，在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时有即，∵，∴∵∴即（2）①先证，令，则由（1）知∴；②再证…+，记则于是由（1）得22戴氏高考中考学校高三数学总复习函数与导数解答题蔡老师所以…+。综合①②，（2）得证7.（湖南理20）如图6，长方形物体E在雨中

7、沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。（Ⅰ）写出的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故.（II）由(I)知，当时，当时，故。(1)当时，是关于