函数与导数解答题排序.doc

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1、第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）评卷人得分三、解答题（题型注释）1．设函数对任意，都有，当时，（1）求证：是奇函数;（2）试问：在时，是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由.（3）解关于x的不等式【答案】（1）详见解析；（2）函数最大值为；（3）①，则解为；②，则解为；③，则无解.【解析】试题分析：（1）要证明为奇函数，需要证明.如何利用所给条件变出这样一个等式来？为了产生，令，

2、则.这时的等于0吗？如何求？再设可得，从而问题得证.（2）一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值，就需要研究函数的单调性.研究单调性，第一，根据定义，第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取，则，根据条件可得：即所以为减函数，那么函数在上的最大值为.（3）有关抽象函数的不等式，都是利用单调性去掉.首先要将不等式化为，注意必须是左右各一项.在本题中，由题设可得，在R上为减函数，即.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数，故需要分情况讨论.试题解析：（1）设可得，设，则所以为奇函数.（2）

3、任取，则，又所以所以为减函数。那么函数最大值为，，所以函数最大值为.（3）由题设可知即可化为即，在R上为减函数，即，①，则解为②，则解为③，则无解考点：1、抽象函数；2、函数的性质；3、解不等式.2．如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为米)【答案】可建一座桥【解析】【错解分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。【正解】对拆一次厚度增加为

4、原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列，则数列是以米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球间的距离为4×108<5.63×1010故可建一座桥。3．已知曲线在点处的切线平行直线，且点在第三象限.（1）求的坐标；（2）若直线,且也过切点,求直线的方程.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导数，因为已知直线的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率都为4，所以令导

5、数等于4得到关于的方程，求出方程的解，即为的横坐标，又因为切点在第三象限，所以即可写出满足条件的切点坐标；（2）直线的斜率为4，根据垂直两直线的斜率之积等于，可得直线的斜率为，又由（1）可知切点的坐标，即可写出直线的方程.试题解析：由，得，2分由平行直线得，解之得.当时，;当时，.4分又∵点在第三象限,∴切点的坐标为6分（2）∵直线,的斜率为4,∴直线的斜率为,8分∵过切点,点的坐标为（－1,－4）∴直线的方程为11分即12分考点：利用导数研究曲线方程.4．已知函数。（Ⅰ）求函数的图像在处的切线方程；（Ⅱ）求的最

6、大值；（Ⅲ）设实数，求函数在上的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）当时当时【解析】试题分析：又函数的在处的切线方程为：，即当时，，在上为增函数当时，，在上为减函数当时，当时，试题解析：（1）定义域为又函数的在处的切线方程为：，即（2）令得当时，，在上为增函数当时，，在上为减函数（3），由（2）知：在上单调递增，在上单调递减。在上的最小值当时，当时，考点：导数的应用。5．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）判断函数的奇偶性,并说明理由。【答案】（1）；（2）奇函数【解析】试题分析：（1）利用倍角公式降幂，然后可

7、得到，再用周期公式计算即可；（2）利用函数奇偶性的判断方法代入计算。试题解析：（1）因，故最小正周期为（3分）因，且。故是奇函数。（6分）考点：1、三角函数的倍角公式；2、三角函数周期的求法；3、函数奇偶性的判断。6．已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.【答案】(1)详见解析(2)【解析】试题分析:(1)首先对函数求导并化简得到导函数,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分和得到导函数分子大于0和小于0

8、的解集进而得到函数的单调性.(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数的可行域内,把关于的表达式带入,得到关于的不等式,然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题.(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时,,则函数在区间单调递减,在单调递增的.(2)解:(1)对