线性代数第二章知识要点

《线性代数第二章知识要点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、知识要点一、内容提要1.矩阵的概念(1)矩阵的定义定义1由m×n个数aij(i=1,···,m;j=1,···,n)排成m行n列的数表叫做m行n列矩阵,简称m×n矩阵.这m×n个数叫做矩阵的元素,aij叫做矩阵A的第i行第j列元素.元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数的矩阵叫做复矩阵,(1)式也简记为A=(aij)m×n或A=(aij),m×n矩阵A也记作Am×n.(2)方阵、列矩阵、行矩阵对(1)式,当m=n时,A称为n阶方阵.当m=1时,A称为行矩阵.当n=1时,A称为列矩阵.(3)同型矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵.

2、如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即aij=bij(i=1,···,m;j=1,···,n),那么就称A与B相等,记作A=B.(4)零矩阵、单位矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O.主对角线上的元素都是1,其他元素都是0的n阶方阵,叫做n阶单位矩阵,简记作E或I.2.矩阵的运算(1)矩阵运算的定义设A=(aij)s×n,B=(bij)t×m为两个矩阵,当s=t,n=m时,它们为同型矩阵,其加法运算定义为A+B=(aij+bij),A+B称为A与B的和.当n=t时可以作乘法:AB=(cij)s×m,其中(i=1,2,···,

3、s;j=1,2,···,m),AB称为A与B的积.设k为实数,定义kA=(kaij),则称kA为A与数k的乘积.(2)矩阵的运算性质(i)矩阵的加法满足交换律:A+B=B+A,结合律:(A+B)+C=A+(B+C).(ii)矩阵的乘法满足结合律(AB)C=A(BC).(iii)矩阵的乘法和加法满足分配律A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA.(iv)数乘矩阵满足(k+l)A=kA+lA，k(A+B)=kA+kB，k(lA)=(kl)A，k(AB)=(kA)B=A(kB).(3)方阵的幂设A是n阶方阵,定义A1=A,A2=A·A,···,Ak+1=A

4、k·A,其中k为正整数.(4)方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作

5、A

6、或detA.3.一些特殊的矩阵(1)设A为m×n矩阵,把它的行换成同序号的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A或AT.矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有(AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(A)T=AT,(AB)T=BTAT.(2)设A为n阶方阵,若满足AT=A,则称A为对称矩阵;若满足AT=-A,则称A为反对称矩阵.(3)设A为n阶方阵,若满足A2=A,则称A为幂等矩阵;若满足A2=E,则称A为对合矩阵;若满足AAT=ATA=E,则

7、称A为正交矩阵.(4)行列式

8、A

9、的各元素的代数余子式Aij所构成的方阵叫做方阵A的伴随矩阵.伴随矩阵具有重要性质:AA=AA=

10、A

11、E.(5)主对角线以下(上)元素全为零的方阵称为上(下)三角形矩阵.(6)除了主对角线以外,其他元素全为零的方阵称为对角矩阵.4.逆阵的概念(1)设A为n阶方阵,如果存在矩阵B,使AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵B称为A的逆矩阵.若有逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的,记作A-1.(2)相关定理及性质(i)方阵A可逆的充要条件是

12、A

13、0.(ii)若矩阵A可逆,则A-1=A/

14、A

15、.(i

16、ii)(A-1)-1=A，(A)-1=1/A-1(0)，(AT)-1=(A-1)T.(iv)若同阶方阵A与B都可逆,那么AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.5.矩阵的分块运算矩阵的分块主要目的在于简化运算及便于论证,其运算法则同普通矩阵类似.二、基本要求与重点、难点熟练地掌握矩阵的加法、数乘及乘法运算以及运算律，正确掌握可逆矩阵的定义，会判别一个矩阵是否为可逆矩阵并能准确地求出一个矩阵的逆矩阵，包括利用矩阵的分块进行运算和求逆.重点１）矩阵的运算及其性质；２）逆矩阵的概念及其求法.难点逆矩阵的求法及其相关概念.基本要求本节内容已结束!若想结束本堂

17、课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若

18、想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容