线性代数第四章知识要点

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1、知识要点一、内容提要1.n维向量(1)(2)向量的相等,零向量,负向量.(3)向量的线性运算若=(a1,a2,···,an),=(b1,b2,···,bn),则＝△+(a1+b1,a2+b2,···,an+bn);＝△(a1,a2,···,an),其中R.4)线性运算满足下列八条规律:+=+;(+)+·=+(+·);+0=;+(-)=0;1·=;()=();(+)=+;(+)=+,其中,,·为n维向量,,R.

2、2.线性相关与线性无关(1)线性组合，线性表示，线性相关设有n维向量组A:1,2,···,m,B:1,2,···,s,对于向量,如果有一组数1,2,···,m,使=11+22+···+mm,则称向量是向量组A的线性组合,或称可由A线性表示.如果存在一组不全为零的数k1,k2,···,km,使k11+k22+···+kmm=0,则称向量组A线性相关,否则称A线性无关.如果向量组A中的每一个向量都能由向量组B中的向量线性表示,则称向量组A能由向量组B线性表示.如果A能由B线

3、性表示,且B也能由A线性表示,则称A与B等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.(2)线性相关的性质定理1向量组1,2,···,m(m≥2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.定理2设1,2,···,m线性无关,而1,2,···,m,线性相关,则能由1,2,···,m线性表示,且表示式是唯一的.(3)线性相关性的判定定理定理3若1,2,···,r线性相关,则1,2,···,r,r+1,···,m也线性相关.定理4r维向

4、量组的每个向量添上n-r个分量,成为n维向量组,若r维向量组线性无关,则n维向量组也线性无关.反言之,若n维向量组线性相关,则r维向量组亦线性相关.定理5m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关.3.向量组的秩(1)定义设有向量组T,如果(i)在T中有r个向量1,2,···,r线性无关;(ii)T中任意r+1个向量(如果T中有r+1个向量的话)都线性相关,那么称1,2,···,r是向量组T的一个最大线性无关向量组,简称最大无关组;数r称为向量组T的秩.并规定:只含零向量的向量组的

5、秩为0.(2)性质性质1向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩.性质2设矩阵A的某个r阶子式D是A的最高阶非零子式,则D所在的r个行向量即是矩阵A的行向量组的一个最大无关组;D所在的r个列向量即是矩阵A的列向量组的一个最大无关组.性质3R(A)=A的行秩=A的列秩.性质4设向量组A:1,2,···,r是向量组T的一个最大无关组,则向量组A与向量组T等价.定理6设有两个向量组:A:1,2,···,r,B:1,2,···,s,如果A组能由B组线性表示,且A组线性无关,则A组所含向量个数r

6、不大于B组所含向量个数s,即r≤s.推论1设向量组A的秩为r1,向量组B的秩为r2,若A组能由B组线性表示,则r1≤r2.推论2等价的向量组有相同的秩.4.向量空间(1)设V为n维向量的集合,如果集合V非空且集合V对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合V为向量空间.所谓封闭,是指对V,V及kR,有+V,kV.(2)由向量组1,2,···,m所生成的向量空间为L={x

7、x=k11+k22+···+kmm

8、k1,···,kmR}.(3)设有向量空间V1及V2,若V1V2,就称

9、V1是V2的子空间.(4)设V为向量空间,如果r个向量1,2,···,rV,且满足(i)1,2,···,r线性无关;(ii)V中任一向量都可由1,2,···,r线性表示.那么,向量组1,2,···,r就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间.二基本要求与重点、难点基本要求1.掌握n维向量的概念,能熟练地进行向量的线性运算.2.掌握线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、最大无关组等概念.能熟练地判断向量组的线性相关性,求出其最大无关组.3.掌握向量组的秩、矩

10、阵的秩、矩阵的等价等概念,会求向量组的秩和矩阵的秩.4.掌握线性方程组解的结构,会求方程组的解.重点线性相关、线性无关、最大无关组、秩等概念;判断线性相关性及求秩的方法.难点线性相关、线性无关的概念及其判定法.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想